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题型二 函数与导数（1）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.已知函数若，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.设，，，则a，b，c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
3.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则( )
A. B. C. D.
4.若函数在上存在零点，则实数m的取值范围为( ).
A. B. C. D.
5.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过___________时间.(参考数据：，)( )
A.4年 B.5年 C.6年 D.7年
6.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则函数在处的切线方程为__________.
8.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
9.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为__________.
10.已知函数.
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：当时，单调递增，且；当时，单调递增，且.所以函数在R上单调递增，由，得，解得.
2.答案：D
解析：因为，，，所以.
3.答案：D
解析：由题可知，，故，，则，，得，得，由，得，故，所以.
4.答案：C
解析：令，则，设，易知函数在上单调递增，而当时，，且，故实数m的取值范围为.
5.答案：B
解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，.
因为，所以，即.故选B.
6.答案：C
解析：解法一：由已知得，所以为奇函数.因为，所以为R上的增函数.由得，
则，得.令，则，
令，得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.故，
所以，即，故选C.
解法二：由已知得，所以为奇函数.
因为，所以为R上的增函数.
由得，即.
令，则只需求时a的取值范围.，当时，，函数为定义域上的增函数，无最大值；
当时，由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
即，解得.故选C.
7.答案：
解析：因为，所以切点坐标为，函数在处的切线斜率，所以所求的切线方程为，即.
8.答案：
解析：可化为.
令，
设，，则，设，
令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.
9.答案：或-1
解析：，且，①
，②
由①+②得，
又，设，且有唯一零点，等价于有唯一解.设，为偶函数，∴当且仅当时有唯一零点，，解得或.
当时，令，
当时，，则或，解得，
当时，，则或，无解，
符合题意，
同理可证当时，也符合题意.
故或.
10.答案：(1).
(2)的取值范围是.
解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意.
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，在上单调递减，
则，符合题意.
②当，即时，，此时存在唯一的，
使得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.题型二 函数与导数（2）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.若一个函数在其定义域上是奇函数，且对定义域上的任意两个不相等的实数、都有，则称此类函数为“Y型函数”，下列函数为“Y型函数”的是( )
A. B.
C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数且在上单调递减，函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若函数有三个极值点，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为( )
A. B. C.1 D.
7.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则________;不等式的解集为_________.
8.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边(单位：cm)和厚度x(单位:)满足.根据以上信息，当某张纸对折完4次时，的最小值为_________.现有一张长边为30 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸，该矩形纸最多能对折_________次.(参考数值：)
9.已知函数，若函数在区间上的图象恒在直线的下方，则实数a的取值范围是____________.
10.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，，所以.
2.答案：B
解析：任意两个不相等的实数、都有，化简恒成立，即函数是定义域上的递减函数.选项A：是递增函数，不符合题意.选项B：，可知其是R上的奇函数且单调递减，故B项符合.选项C：是偶函数，不符合题意.选项D：是递增函数，不符合题意.
3.答案：D
解析：解法一：由，排除A；
由，排除C；因为，
所以，排除B.故选D.
解法二：当时，，，排除B；
由，排除A，C.故选D.
4.答案：C
解析：由题意可知，，要使得关于x的方程恰有三个不相等的实数根，由于有且仅有一个实数根，则只需使得当时方程有且仅有两个不相等的实数根，即当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，，解得，此时方程有四个不相等的实根，不合题意；
当方程即方程有两个不相等实根时，，解得，显然当时，满足题意，故选C.
5.答案：C
解析：，求导，得，令，得或.要使有三个极值点，则有三个互不相等的实根，即方程有两个不等于1的实根.，令，则，令，得.易知，且，；，，所以当时，方程即有两个不等实根.又，所以，即.综上，实数k的取值范围是.故选C.
6.答案：D
解析：由题可知，为偶函数，且，.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
故时，，即，即在上单调递增，
故在上没有零点.
由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；
当时，存在，使，
当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，故，且，则在上有零点，此时不符合条件，故，即实数m的最小值为，故选D.
7.答案：1；
解析：依题意，，解得，所以函数在[-2，0]上单调递增，故等价于解得，故不等式的解集为.
8.答案：64，7
解析：由，得，郎，
，即的最小值为64.
由题意知，
故该矩形纸最多能对折7次.
9.答案：
解析：由题意知，对于任意，，即在上恒成立.设，，则的最大值小于0，.
①当时，，在上单调递减，，即，.
②当时，，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.
③当时，易知在上单调递减，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.
综上，实数a的取值范围是.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.
2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，
，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增.
，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.题型二 函数与导数
——2023届高考数学高频题型专项讲解
一、思路分析
函数的概念及其表示常以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域、值域，其中分段函数的求值、求参问题是高考的热点，常以选择题或填空题的形式出现，难度较低.
函数的基本性质是高考重点，有时考查单一性质，有时涉及两个或两个以上性质，题目新颖且注重基础，命题着重于求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式，利用函数的奇偶性求解析式、求值、求参数，利用周期性求值、求解零点问题，函数性质的综合应用等，强化对函数与方程思想，转化与化归思想，分类讨论思想的应用，题型以选择题和填空题为主，难度中等，在解答题中常以导数为工具考查单调性，难度中等偏高.
二次函数与幂函数常与其他函数、方程、不等式等综合出题，命题热点为二次函数的图象和性质，对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小.
指数函数、对数函数在高考中的常考点有：（1）比较指、对数式的大小；（2）指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用等.
函数图象是高考常考知识点，主要考查函数图象的识别和函数图象的应用，如利用函数图象解决函数零点问题、不等式问题、求参数的取值范围问题等，一般以选择题和填空题的形式出现.
函数与方程主要考查：（1）利用零点存在性定理判断零点是否存在及零点所在区间；（2）判断函数零点、方程根的个数；（3）根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围，一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度中等.
函数模型及其应用在高考中出现的相关题目常以社会实际生活为背最，以解决最优问题的形式出现，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用.
导数的概念及运算一直是高考的必考内容，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义，导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值、最值等综合考查，有关导数的几何意义的考查，最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数的值，题型为选择题、填空题或解答题的第一问，难度中等偏下.
导数的应用一直是高考的重点和难点，主要以导数为工具考查求函数的单调区间，讨论函数的单调性，已知函数单调性求参数取值范围，利用函数单调性求极值、最值，已知函数极值、最值求参数值（或取值范围）、求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题等、考查形式为选择题、填空题、解答题，作为压轴题考查.
二、考纲要求
1.函数的概念及其表示
（1）建立完整的函数概念，，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
（2）根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.
（3）掌握分段函数的简单应用.
2.函数的基本性质
（1）理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.
（2）掌握奇偶性的概念及其应用.
（3）了解周期性的概念和几何意义.
3.二次函数与幂函数
（1）理解并掌握二次函数的定义、图象和性质；会求二次函数在闭区间上
的最值；能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去解决有关问题.
（2）了解幂函数及其应用.
4.指数函数、对数函数
（1）掌握指数幂的运算性质.
（2）了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
（3）会分辨指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点.
（4）理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式.
（5）了解对数函数的概念，会分辨对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.
5.函数图象
（1）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
（2）掌握函数图象的应用.
6.函数与方程
（1）了解函数零点与方程解的关系.
（2）了解函数零点存在定理，会求函数零点.
7.函数模型及其应用
（1）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
（2）能比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
8.导数的概念及运算
（1）了解导数概念及几何意义，会求切线方程.
（2）掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单函数的导数，以及简单的复合函数的导数.
9.导数的应用
（1）掌握导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
（2）能利用导数求函数的极大值、极小值以及最大值、最小值.
（3）能利用导数求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题.
三、方法技巧
1.求分段函数中参数或自变量的值（范围）的解题思路
（1）解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后取各段结果的并集即可.
（2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解.
2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.
（3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解.
（4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
3.函数奇偶性与单调性综合问题的求解方法
（l）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.
（2）解决不等式问题时，首先一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响.
4.指数型代数式大小的比较方法
（1）化同底，化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.
（2）取中间值法，不同底、不同指数时比较大小，先与中间值0或1比较大小，再间接地得出大小关系.
（3）图解法，根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图象，在图象上找出相应的位置，进行比较.
（4）比较法，有作差比较法与作商比较法两种.
5.对数函数值大小比较的方法
（1）单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底.
（2）中间量过渡法，即寻找中间数连接要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”.
（3）图象法，根据图象观察得出大小关系.
6.解决指数函数与对数函数综合问题的技巧
（l）解决指数函数与对数函数的综合问题时，一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识，并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.
（2）解决与指数函数、对数型函数有关的问题时，要注意数形结合思想的应用.
（3）在给定条件下求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.
7.求解函数图象的应用问题的步骤
（1）画图：通过五点作图法或函数图象变换法画出有关函数的图象；
（2）分析：准确分析函数图象的特征，定性分析、定量分析；
（3）转化：借助函数图象，把原问题转化为数量关系比较明确的问题；
（4）结论：解决问题，并回到原问题，得出正确结论.
8.判断函数零点个数的常用方法
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）函数零点存在定理：利用定理不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.
（3）利用图象交点的个数：画出函数的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个图象易得的函数和的差，根据，则函数的零点个数即为函数和的图象的交点个数.
（4）利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数.
9.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤
（1）常用方法：
①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.
②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
（2）一般步骤：
①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式(组)的解集或两函数图象的交点的情况；
②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式；
③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.
10.指数函数、对数函数、幂函数三种函数模型的应用技巧
（1）与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型.
（2）在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.
11.已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法
（1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导.
（2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
（3）复杂分式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.
（4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.
（5）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.
12.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略
含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
13.利用导数解决函数零点问题的方法
（1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.
（2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.
（3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题.
14.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法
首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则.

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