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丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测
数学试题卷
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．设复数（其中为虚数单位），是的共轭复数，则
A．　　　 B． 　 C． 　 D．
3．已知点是所在平面上的一点，且（），若点在
的内部，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知函数（）的部分
图象如图，当时，满足的的值是
A. B. C. D.
5．在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且,设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和．若,则
A. B． C． D．
6．若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是
A． B． C． D．
7．如图，已知抛物线，过点和分别作斜率大于的两平行直线，交抛物线于，和，，连接交轴于点，
则直线的斜率是
A． B． C． D．
8．设，，，则
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别 合计
男性 女性
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
附：，．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.00l
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，则下列说法正确的是
A．列联表中的值为，的值为
B．随机对一名学生进行调查，此学生有的可能喜欢该项运动
C．有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系
D．没有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系
10．已知函数，则
A．对于任意，函数有零点
B．对于任意，存在，函数恰有一个零点
C．对于任意，存在，函数恰有二个零点
D．存在，函数恰有三个零点
11．已知点，分别为圆：与圆：上的两个动点，点为直线：上一点，则
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式中常数项是 ▲ ．
14．从数字中任意取出两个数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是 ▲ ．
15．已知函数（）满足，若函数与的图象的交点为（）,则 ▲ ．
16．设是椭圆（）的右焦点，为坐标原点，过作斜率为的
直线交椭圆于，两点（点在轴上方），过作的垂线，垂足为，且
，则该椭圆的离心率是 ▲ ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）在数列中，，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式（）成立的的最大值．
18．（本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知
．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求周长的最小值．
19．（本题满分12分）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
（1）求点到平面的距离；
（2）若，且平面平面，
求二面角的余弦值．
20．（本题满分12分）自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.年月，教育部决定年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从年起至年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：
年份 数学 物理 化学 总计
2018 4 7 6 17
2019 5 8 5 18
2020 6 9 5 20
2021 8 7 6 21
2022 9 8 6 23
请根据表格回答下列问题：
（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记为年份与的差，为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并以此预测年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；
（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这名学生中随机选取位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为，求随机变量的数学期望；
（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占，五年毕业的占，六年毕业的占.现从到年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，
若该生是数学专业的学生，求该生恰好在年毕业的概率.
附：为回归方程，，．
21．（本题满分12分）已知点在离心率为的双曲线上，过点的直线交曲线于，两点（，均在第四象限），直线，分别交直线于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
22．（本题满分12分）已知函数（）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．
（其中是自然对数的底数）丽水、湖州、衢州2022年11月三地市地高三教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C C D C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD ABD AC AD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.
15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)在数列中，，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式（）成立的的最大值．
解：（1）由条件得，-------------------------------------------------2分
所以数列是以为首项，公差的等差数列．
故，-------------------------------------------------------------------4分
即．----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）由（1）知，------------------------------7分
故
-------------------------------------------------------------------------------9分
所以，解得，
结合得，的最大值是．---------------------------------------------------------------------10分
18. (本题满分12分)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知
．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求周长的最小值．
解：（1）由得，，----------2分
因为，解得．------------------------------------------------------3分
所以．-------------------------5分
（2）由上可知，．
由的面积为，得，故．-----------------------7分
所以，即．（等号成立当且仅当）----------------9分
又
（等号成立当且仅当）
所以．-----------------------------------------------------11分
故周长（等号成立当且仅当）．
因此周长的最小值为．--------------------------12分
（注意：等号成立条件仅需说明一次）
19．(本题满分12分)如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，
求二面角的余弦值．
解：（1）设点到平面的距离为．
因为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为.---------------------------------------------3分
又由，得，解得.---------------------5分
（2）由已知设,，则,，取的中点，连结，则，由平面平面知，故，
又，从而平面.-------------------------------------------------6分
故，，取中点，则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形，故，，
又，
得.------------------------------------------------8分
作,则，在平面内，作，连结，则二面角的平面角为.--------------------------------------------------------------------------------10分
在中，，故，.即所求二面角的余弦值为.-----------------------------------------------------------------------------------12分
法二：取的中点，连结，则，由平面平面知，故，又，从而平面.---------------------------6分
故，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设,，则,，取中点，则,四边形是平行四边形,,从而为正三角形，故，，
又，
得，----------------------------------------------8分
则，，，
设面的法向量，由得，
设面的法向量，由得，----------------------10分
故,即所求二面角的余弦值为.-------------------12分
20.(本题满分12分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.年月，教育部决定年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从年起至年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：
年份 数学 物理 化学 总计
2018 4 7 6 17
2019 5 8 5 18
2020 6 9 5 20
2021 8 7 6 21
2022 9 8 6 23
请根据表格回答下列问题：
（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记为年份与的差，为当年招生总人数，试用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并以此预测年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；
（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从名学生中随机选取位学生进行评审.记为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量的数学期望；
（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占，五年毕业的占，六年毕业的占.现从到年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，
若该生是数学专业的学生，求该生恰好在年毕业的概率.
附：为回归方程，，．
解（1）由题意，的取值集合为，的取值集合为，直接根据公式求解：，代入，算得：，，因此回归方程为，
当时，可得,
因此预测2023年的招生总人数为人.--------------------------------------------5分
（2）由已知，，，，，
故.---------------------------------------4分
（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年；
由条件概率公式可知，在小A被数学系录取的条件下，其在第年入学的概率为：
，故
，
，
，
由全概率公式：
.--------------------------3分
21.(本题满分12分)已知点在离心率为的双曲线上，过点的直线交曲线于，两点（，均在第四象限），直线，分别交直线于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
解 （1）①若焦点在轴上，设双曲线方程为（）.
由题意得，解得，
所以双曲线的标准方程为.-----------------------------------------------2分
②若焦点在轴上，设双曲线方程为（）.
由题意得，此时无解.
综上所述双曲线的标准方程为.--------------------------------------------------4分
（2）设直线方程为，，联立得
，故，-----------------------6分
又因为直线，
取得，
同理，-----------------------------------------------------------------8分
由题意点到直线的距离是，所以，解得.
又
故，----------------------------------------------------------------10分
化简可得，得或，易知，故，即直线方程为.--------------------------------------------------------12分
方法二：
故，又，得，故，
由，得
，，代入得或，易知，故，即直线方程为.
22.(本题满分12分)已知函数（）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，则．
解（1）由题意得，
2得，--------------------------------------------2分
所以当时，，当时，，
因此在单调递增，在单调递减.------------------------------------4分
（2）先证明，
因为，---------------------------------------------------6分
所以当时，，在单调递增，不满足题意；
故，可知在单调递增.在单调递减.
又当时，；当时，，
故，
解得，且.----------------------------------------------------8分
设，则由于单调递增，则，可证得.----------------------------------------------------------------------------------------10分
所以要证明，只要证明.
设（），则，
所以在单调递减，则.
因此有.------------------------------------------------------------------12分
方法二：先证明，
因为，--------------------------------------------------6分
所以当时，，在单调递增，不满足题意；
故，可知在单调递增.在单调递减.
又当时，；当时，，
故，
解得，且.----------------------------------------------------8分
要证明，只要证明.
因为在单调递增.在单调递减，且，所以只要证明，只要证明，设（），
所以在递增，所以，
因此成立.------------------------------------------------------------------10分
所以要证明，只要证明.
设（），则，
所以在单调递减，则.
因此有.-----------------------------------------------------------------12分

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