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抛物线常考题型归纳
【典例精析】
题型一：抛物线的定义及应用
【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．1
C． D．2
(2)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[方法技巧]
1．利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．　
[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
【变式训练】
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．4　　　　 D．8
2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　 　)
A．4 B．8
C．16 D．32
3．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则(　　)
A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4 D．xP＝4
4．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________．
5．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且＝3，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p＝________．
题型二：线段和差的最值问题
【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
【变式训练】
若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
2．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．
4．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为________．
5．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为________．
题型三：抛物线的标准方程与几何性质
【例3】(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
[方法技巧]
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【变式训练】
1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5　　　　　　　　 B．6
C． D．
2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为 的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于(　 )
A．p2 B．p2
C．p2 D．p2
3．已知直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　 　)
A．　　 B．　
C．2　　 D．
4．已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为(　 )
A．(3,5) B．(5,7)
C．(6,8) D．(6,8]
5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
6．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB的面积的最小值是2
7．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P, M位于第一象限，则＋的值可能为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
【巩固练习】
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为(　 )
A．(，0) B．(0，)
C．(2，0) D．(0,2)
2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　 )
A．1 B．2
C．3 D．5
3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为(　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点．若抛物线C上的点M满足|MA|＝|MF|，则|MF|＝(　 )
A． B．2
C．2 D．4
5．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为(　 )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．8 B．2
C．2＋ D．
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为(　　)
A．5　　 B．＋1
C．－1　 D．4
8．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝(　　)
A．30°　　 B．45°
C．60°　 D．75°
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．
C．5 D．6
10．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则(　 )
A．C的准线方程为x＝－4
B．F点的坐标为(0,4)
C．|FN|＝12
D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
11．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是(　 )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
12．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______．
13．已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点．
(1)求p的值；
(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．
抛物线常考题型归纳
【典例精析】
题型一：抛物线的定义及应用
【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．1
C． D．2
(2)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2．∴xP＋1＝2，∴xP＝1．
代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1．故选B
(2)　依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离和它到点M(－4,0)的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．
[方法技巧]
1．利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．　
[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
【变式训练】
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
解析：由题意，知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义，得x0＋＝|AF|＝x0，所以x0＝1．故选A．
2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　 　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：(1)如图所示，易得F(2,0)，过点P作PN⊥l，垂足为N．
∵|PM|＝|PF|，
|PF|＝|PN|，
∴|PM|＝|PN|．
设P，则|t|＝＋2，解得t＝±4，∴△PMF的面积为×|t|·|MF|＝×4×4＝8．故选B．
3．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则(　　)
A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4 D．xP＝4
解析：选ABC　如图，因PQ∥x轴，∴∠QPF＝∠PFx＝60°，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，
∴△PQF为等边三角形．
因F(1,0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M．∴xM＝1，∴|MQ|＝2．
∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝×2×4＝4，xP＝3．
故选A、B、C．
4．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________．
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H．根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°．在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|．而|FK|＝1．所以|MF|＝．
5．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且＝3，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p＝________．
解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1⊥l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，|EF|＝p．
设|BD|＝m，|BF|＝n，则＝＝＝，即＝，所以m＝2n．
又＝，所以＝＝，所以n＝，
因为|DF|＝m＋n＝2p，所以∠ADA1＝30°．
又|AA1|＝3n＝2p，|EF|＝p，所以|A1D|＝2p，|ED|＝p，所以|A1E|＝p，所以直角梯形AA1EF的面积为(2p＋p)·p＝6，解得p＝2．
题型二：线段和差的最值问题
【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
解析：(1)如图①，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3．
(2)如图②，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－．当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝．故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为．
【变式训练】
1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
2．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝＝ 当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1．
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，F(1,0)，准线l：x＝－1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，设圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为C，则C(0,3)，圆的半径为1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝－1＝－1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|＋d的最小值为－1．
4．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为________．
[解析]　如图，抛物线y2＝2x的准线方程为l：x＝－，
过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′．
由抛物线的定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，又M是AB的中点，
所以由梯形的中位线定理，
得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)．所以点M到y轴的最短距离为1．
5．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为________．
解析：[由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，
因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x．
圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，
可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，
于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25．
②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝．
所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，
当且仅当x1＝，即x1＝4时等号成立．
因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23]
题型三：抛物线的标准方程与几何性质
【例3】(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：(1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴由已知得椭圆＋＝1的一个焦点为，
∴3p－p＝，又p>0，∴p＝8．
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x．
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【变式训练】
1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5　　　　　　　　 B．6
C． D．
解析：C　因为|AF|＝4，所以点A到准线l距离为4，又F为AC中点，所以焦点F到准线l距离为2，即p＝2．由结论知＋＝，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为 的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于(　 )
A．p2 B．p2 C．p2 D．p2
解析：选B　不妨设P在第一象限，过Q作QR⊥PM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，如图．
∵直线PQ的斜率为，∴直线PQ的倾斜角为60°．由抛物线焦点弦的性质可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝＋＝＝p．在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝，∴|QR|＝|PQ|·sin∠RPQ＝p×＝p，由题意可知|MN|＝|QR|＝p，∴S△MFN＝|MN|·|FE|＝×p×p＝p2．故选B．
3．已知直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　 　)
A．　　 B．　
C．2　　 D．
解析 设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2．
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图，过A，B分别作AM⊥m于M，BN⊥m于N．
由|AM|＝2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D．
4．已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为(　 )
A．(3,5) B．(5,7)
C．(6,8) D．(6,8]
解析：选C　如图所示，圆E的圆心为(1,0)，半径为3，抛物线的焦点也为(1,0)，准线方程为x＝－1．由解得A(2，2 )，B(2，－2 )，所以25．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
解析：选ABC　如图，F，直线l的斜率为，
则直线方程为y＝，
联立得12x2－20px＋3p2＝0．
解得xA＝p，xB＝p，
由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝，
|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点，
∴运算结论正确的是A、B、C．
故选A、B、C．
6．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB的面积的最小值是2
解析：选ACD　F(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．
(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S△OAB＝×4×1＝2，显然B错误；
(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
联立方程组消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋>4，原点O到直线l的距离d＝，∴S△OAB＝×|AB|×d＝××＝2>2．
综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确．故选A、C、D．
7．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P, M位于第一象限，则＋的值可能为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选BCD　如图所示，可设＝m，＝n，则＝m－1，＝n－1，∵y2＝4x，∴p＝2，根据抛物线的常用结论，有＋＝＝1，∴＝1，则m＋n＝mn，
∴＋＝＋＝＝4m＋n－5，
又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝9，得4m＋n≥9，
∴4m＋n－5≥4，则＋的值不可能为3．
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8．
答案：8
【巩固练习】
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为(　 )
A．(，0) B．(0，)
C．(2，0) D．(0,2)
解析：选A　抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离是，即＝，则抛物线的焦点坐标为(，0)．故选A．
2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：选A　由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2．又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1
3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B　因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x＝－2的距离等于|PF|，所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B．
4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点．若抛物线C上的点M满足|MA|＝|MF|，则|MF|＝(　 )
A． B．2 C．2 D．4
解析：选B　由已知得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，A(－1,0)．设M(x，y)，则由|MA|＝|MF|，得＝(x＋1)．又y2＝4x，所以(x＋1)2＋4x＝2(x＋1)2，解得x＝1，|MF|＝1＋1＝2，故选B．
5．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为(　 )
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：选C　因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|＝|DA|且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，从而|AB|＝4，故矩形的面积为2×4＝8．
6．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．8 B．2
C．2＋ D．
解析：选D　由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝xA＋＝xA＋1＝5，∴xA＝4，代入抛物线方程，得y＝16，不妨取点A为(4,4)．如图，设点F关于x＝－1的对称点为E，则E(－3,0)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝＝．
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为(　　)
A．5　　 B．＋1
C．－1　 D．4
解析：D　∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1．∴当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|．∵Q(－3，3)，F(1,0)，∴|QF|＝5，∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4．故选D．
8．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝(　　)
A．30°　　 B．45°
C．60°　 D．75°
解析：C　设P(x0，y0)，则|PQ|＝y0＋1，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3，又x＝4y0，则x＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2，即P(2，3)，因此Q(2，－1)，所以|QF|＝＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°．故选C．
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　B．
C．5 D．6
解析：　法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．
设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，
所以sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．
法二：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
10．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则(　 )
A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4)
C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
解析：选ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A．
由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8．在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝＝6，
由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，
故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16．故选A、C、D．
11．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是(　 )
A．△ABF是等边三角形 B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD　∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°．∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6．又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x．
12．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______．
解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝．答案：
13．已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；
(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．
解析：(1)设直线l的方程为x＝my＋，
由消去x得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
因为·＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，
又x1x2＝·＝，所以－p2＝－3，又因为p＞0，所以p＝2．
(2)由(1)及抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，|BM|＝x2＋＝x2＋1，
所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，当且仅当x1＝4x2时等号成立．
将x1＝4x2代入x1x2＝＝1，得x2＝(负值舍去)．
将x2＝代入y2＝4x，得y2＝±，即点B，将点B代入x＝my＋1，得m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0．

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