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2022—2023学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷
参考答案
一 单项选择题：
1~4 BCDC 5~8 AACB
二 多项选择题：
9.ABC 10.BD 11. BC 12. ACD
三 填空题：
4 3
13． 66 14． k 且 k 15． 1 2 16． 49
11 2
四 解答题： 若有其它解法请酌情给分
a b 1 0
a 6
17．解: （Ⅰ）设点 B 的坐标为 (a , b)，则有 b 2 ，解得 ，
( 2) 1 b 7
a 4
即点 B 的坐标为 (6, 7) …………5 分
（Ⅱ）由题意，可求得点 A 关于直线 x y 1 0 的对称点为 A (1, 3) …………7 分
7 3
因为点 A 在直线 BC 上，所以直线 BC 的方程为 y 3 ( x 1) ,化简得：
6 1
2 x y 5 0 ,即直线 BC 的方程为 2 x y 5 0 …………10 分.
18．解: 如图所示，过 A 作 AP C D 交 CD 于点 P.以 A 为原点， AB , AP , AO 的方向分别
为为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则
A 0, 0, 0 ，B 2, 0, 0 ，P 0, 3 , 0 ，D 1, 3 , 0 ，O (0, 0, 2) ，
3 3
M 0, 0,1 ， N ( , , 0) .…………1 分
2 2
3 3
（ Ⅰ ） MN ( , , 1) ， OP (0, 3 , 2) ，
2 2
1
OD ( 1, 3 , 2) .
n OP 3 y 2 z 0
设平面 OCD 的法向量为 n x, y , z ，则 .
n OD x 3 y 2z 0
不妨取 z 3 ，解得： n 0, 2, 3 .…………3 分
3 3
因为MN n ( , , 1) 0, 2, 3 0 3 3 0 …………4 分
2 2
又因为直线M N 平面 OCD，所以 MN//平面 OCD. …………5 分

（Ⅱ）设直线 AB 与 MD 所成角为 ，则 0, .
2
因 为 AB 2 , ，0 ,MD 0( 1, 3 , 1) ， 所 以
A B M2 D0 0 5
c o As B c M o D s , …………7 分
A B 2 M 1D 5 3 1
5
所以直线 AB 与 MD 所成角的余弦值为 .…………8 分
5
（ Ⅲ ） 设 点 B 到 平 面 OCD 的 距 离 为 d ， 由 OB 2 , 0 , ，2 得
O B n 0 0 2 3 2 21
d ，
n 4 3 7
2 21
所以点 B 到平面 OCD 的距离为 .…………12 分
7
19．解：选条件①：（Ⅰ）设线段 AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线m 上且在直线
l 上，即C 是m 与 l 的交点，
5 0 7 5
因为直线 AB 的斜率是 1，则直线m 的斜率是 1， AB 的中点为 , ，
1 6 2 2
5 7 x y 1 0 x 3
所以直线m 的方程为 y x ，化简得 x y 1 0 ，联立 ，解得 ，
2 2 2 x 7 y 8 0 y 2
所以圆心C 3, 2 …………4 分
2
2 2
所以半径 r CA 3 6 2 0 13 …………5 分
2 2
所以所求圆的方程是 x 3 y 2 13 …………6 分
2
（Ⅱ）因为点A 在圆C 上，C 3, 2 ， A 6, 0 ， k AC ，
3
3
所以过点A 的圆C 的切线斜率为 …………9 分
2
3
所以过点 A 的切线方程是 y x 6 ，即3x 2 y 18 0 …………12 分
2
选条件②：
2 2
（Ⅰ）设所求圆C 的方程为 x y 2 x 4 y 16 2 x y 4 0 ，
代入点 A 6, 0 得 2 …………4 分
所以所求圆的方程为 2 2x y 2x 6 y 24 0 …………5 分
2 2
即 x 1 y 3 34 …………6 分
3
（Ⅱ）因为点A 在圆C 上，C 1, 3 ， A 6, 0 ， k …………9 分 AC
5
5 5
所以过点 A 的圆 C 的切线斜率为 ，所以过点 A 的切线方程是 y x 6 ，即
3 3
5x 3y 3 0 0．…………12 分
20．解：（Ⅰ）证明：连接 A C ，因为四边形 ACC A 是菱形，则 AC AA1 1 1 1 ，
因为 A AC 60 ，故△ AA C A O AC1 1 为等边三角形，所以 1 …………1 分
因为平面 ABC 平面 ACC A ，平面 A ACC 平面 ABC AC , A O 1 1 1 1 1 平面 AA C C1 1 ，
所以 A O 1 平面 ABC ，…………3 分
BC 平面 ABC ，所以 A O BC1 .
因为 B A ∥ BA, BC BA ，所以 BC A B1 1 1 1 ，又 OA B A A1 1 1 1 ，所以 BC 平面
B OA
1 1 .…………5 分
3
BC 平面 BCC B , 1 1 平面 BCC B 1 1 平面 B OA1 1 …………6 分
（Ⅱ）连接 BO ，因为 ABC 90 , AB BC ,O 是 AC 的中点，所以 BO AC .
又因为平面 ABC 平面 ACC A1 1 ，平面 ABC 平面 ACC A AC , BO 1 1 平面 ABC ，所以
BO 平面 ACC A1 1 .…………7 分
因为 A O AC1 ，故可以以点O 为坐标原点，OA OA OB x y z1 所在直线分别为 轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
设 AC 2 ， 则 O 0, 0, 0 A 1, 0, 0 B1 1, 3 ,1 C 2, 3 , 01 ，
OA 1, 0, 0 , OB 1, 3 ,1 , OC 2, 3 , 01 1 .
设平面OB C 的法向量是 n x , y , z1 1 ，
n OC 2 x 3 y 01
则 ，取 x 3 ，可得 n 3, 2, 3 .…………10 分
n OB x 3 y z 01
设直线O A 与平面OB C1 1 所成角为 ，则
OA n 3 30
sin cos OA , n ，…………11 分
OA n 10 10
30
∴直线O A 与平面OB C1 1 所成角的正弦值为 .…………12 分
10
21. 解：（Ⅰ）证明：连接 BE ，取线段 AE 的中点O ，连接DO , OC ，
4
在 Rt ADE 中，DA DE 2 ， DO AE , DO 1，
1 3
在△OEC 中，OE AE 1, EC 2 , OEC π ，
2 4
2 2由余弦定理可得：OC 1 2 2 1 2 5 ， OC 5
2
在 中， 2 2 2△DOC DC 6 DO OC , D O O C …………2 分
又 AE OC O , AE , OC 平面 ABC E ， DO 平面 ABC E …………3 分
又 D O 平面 ADE ,∴平面 ADE 平面 ABC E ，
在△ABE 中， AE BE 2, AB 2 2 ， BE AE
∵平面 ADE 平面 ABCE AE , BE 平面 ABC E ， BE 平面 ADE .…………6 分
（Ⅱ）过 E 作 D O 的平行线 l ，以 E 为原点，EA, EB , l 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
D 1, 0,1 , C 1,1, 0 , A 2, 0, 0 , B 0, 2, 0 ，平面 ADE 的法向量 n 0,1, 0 ，…………7 分 1
设 H 的坐标为 t , 2 t , 0 (0 t 2) ，则HC t 1, t 1, 0 , DC 2,1, 1 ，
设平面D H C 的法向量为 n 2 x, y , z ， n HC 0, n DC 0 ， 2 2
5
t 1 x t y 1 0
所 以 ， 令 y 1 t ， 则
2 x y z 0
x 1 t , z 3 t , ，n………… 1 9t 分 , 1 t , t 3 2
π 2 n n 1 t
由已知 cos 1 2 ，化简可得： 2t 10t 9 0
4 2 2 2 2n n
1 2 1 (t 1) (t 1) (3 t )
解之得： t 1或 9（舍去），…………11 分
π
所以点H 是线段 AB 的中点时，平面 ADE 与平面D H C 所成角的大小为 .…………12 分
4
22．解：（Ⅰ）设 P (x, y) ，则由题意可得：
2 2 2 2
( x 0) ( y 6) 2 ( x 0) ( y 3) …………2 分
2 2化简得： x y 2 4 .…………4 分
（Ⅱ）解法 1：由题意可设直线 PQ 方程为 y kx 1 ，并设 P x , y , Q x , y1 1 2 2 ，联立
2 2
x y 2 4 y 2 2 ，消去 可得 k 1 x 2kx 3 0 ，
y kx 1
2k 3
则 x x , x x 1 2 1 2 …………5 分 2 2
k 1 k 1
所以 2kx x 3( x x )1 2 1 2 .…………6 分
y y 4
y 1
2
直线OP 的方程为 x ，直线 EQ 的方程为 y x 4 ，
x x
1 2
y
y 1 x

x1 4 x x1 2
联立 ，解得 x ，…………8 分
y 4
3x x
1 2
y 2 x 4
x2
y 4 x x 4 y x 4 kx 1 x
y 1 1 2 1 2
1 2
则
x 3 x x 3 x x 3 x x
1 1 2 1 2 1 2
4kx x 4 x 6( x x ) 4 x
1 2 2 1 2 2 2 ，…………11 分
3x x 3x x
1 2 1 2
6
4 x x
所以M
1 2
, 2 ，所以点M 恒在定直线 y 2上. …………12 分
3x x1 2
解法 2：由题意可设直线 PQ 方程为 y k x 1 ，并设 P x , y , Q x , y1 1 2 2 ，联立
2
2 x y 2 4 y 2 2 ，消去 可得： k 1 x 2kx 3 0 ，
y kx 1
2 2
k 4k 3 k 4k 3 3
则当 x x1 2 时有 x , x ，且 x x .…………6 分 1 2 2 1 22 2
k 1 k 1 k 1
y y 4
2
直线OP 的方程为 y
1 x ，直线 AQ 的方程为 y x 4 ，
x x
1 2
y
y 1 x

x1 4 x x
x 1 2联立 ，解得 …………8 分
y 4
3x x
y 2
1 2
x 4
x2
y 4 x x 4 y x 4 kx 1 x
1 1 2 1 2 1 2则 y
x 3 x x 3 x x 3 x x
1 1 2 1 2 1 2
2
3 k 4k 3
4k 4
4kx x 4 x 2 2
1 2 2
k 1 k 1
2 ，…………11 分
3 x x 2 2
1 2 k 4k 3 k 4k 3
3
2 2
k 1 k 1
4 x x
M 1 2所以 , 2 ，
3x x1 2
2 2
k 4k 3 k 4k 3
同 理 可 得 ： 当 x x1 2 时 有 x , x ， 依 然 会 有1 2 2 2
k 1 k 1
4 x x
M 1 2 , 2 ，所以点M 恒在定直线 y 2上. …………12 分
3x x1 2
72022一2023学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.点A(-1,2,7)关于xOz平面对称的点为B,则点B的坐标为（)
A.(-1,-2,-7)
B.(-1,-2,7）
C.(1,2,-7)
D.(1,-2,7)
2.若直线l的方向向量是(2,2cos0),则直线1的倾斜角α的取值范围是（)
A[o,牙
c.【o,牙Ur3
.
3.已知在四面体ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点，设AB=a,AC=b,
AD=c,则M示=()
A.-a+6+可)
B.(a+B-d)
c.2(a-i+d)
D.-a-+⊙)
4.若直线x+my+3=0与直线4mx+y+6=0平行，则m=()
A或月
1
1
B.2
c.-
2
D.0
5.已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若
OM=20A+2OB+二OC,则4，B,C,M四点共面的充要条件是()
6
A2-13
0
81=7
60
C1=-17
D.1=-
13
60
60
6.已知圆C:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1相外切，则ab的最大值
为()
A.2
B
C.4
D.7
7.在二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂
直于AB,若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√41，则此二面角的大小为()
A.
6
B若
C.2z
D.5z
3
6
8.在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,△ABC是正三角形，AB=2,MA=V5,F是棱
MC上一点，且满足'-Bc=2YM-Br,则异面直线BC与AF所成角的余弦值是()
A.、6
6
B.6
C.6
D.30
12
6
12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中，表述不正确的是(
A.若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行：
B.若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面：
高二年级数学科试卷共4页第1页
C.若三个向量a,,c两两共面，则向量a,五，c共面：
D.已知向量{a,,c是空间的一个基底，若m=a+c,则{a,,m也是空间的一个基底
10.下列命题中，表述正确的是（)
A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，-3)
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线1：x-y+V2=0的距离都等于1
C.直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+V4-x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围是
D.已知圆C:+=1,点P为直线聋+岁=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,P8,
4B为切点，则直线B经过定点行的
11.已知直线1：x-my+1=0(m∈R),圆C:(x-k)2+(y-2k-1)2=1k∈R),则下列选项
中正确的是()
A.圆心C的轨迹方程为y=2x-1
B.k=一2时，直线1被圆截得的弦长的最小值为V行
.若直线！被圆C截得的弦长为定值，则m=7
D.m=1时，若直线1与圆相切，则k=√2
12.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，点M在线段BC1上运动，则下列说法中正
确的是()
A.A,MI∥平面ACD
(超明 DF厘本庋
「52
C.异面直线CD与A,M所成角的正弦值的取值范围为
32
26
D.面A,DM与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为
2’3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量a=(2,-1,1),b=(1,3,1)，则以a,b为邻边的平行四边形的面积
为
14.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+k与2a+36的夹角为锐角，则实数
无的取值范围是
15.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，P是棱BC上的动点.记直线AP与平面ABC所成角大
小为e,,与直线BC所成角大小为日，则日与日，的大小关系是
高二年级数学科试卷共4页第2页

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