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《对数函数》典型例题
【考情分析】
本节的内容主要涉及对数函数的概念、图象、性质,是高考考查的重点,考查形式主要包括利用对数函数的概念、图象,利用对数函数的单调性比较大小、解不等式等,通常以选择题、填空题形式出现.
题型 求对数型复合函数的定义域(数学抽象)
典例1 [概括理解能力](1)(2017山东卷)设函数的定义域为,函数的定义域为,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018浙江学考)函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2018江苏卷)函数的定义域为________.
解析:本题基于对数函数、集合、不等式知识的理解,考查求对数函数的定义域问题,解答时要注意:真数大于零,对数的底数大于零且不等于1,按底数的取值应用单调性解不等式即可.具体解题过程如下:(1)由题意可知,故.
(2)由题意可得解得,即函数的定义域为.
(3)由.
答案:(1)D (2)B (3)
题型2 求对数型复合函数的值域(数学运算)
典例2 (1)[分析计算能力](全国卷II)下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(福建卷)若函数的值域是,则实数的取值范围是________.
解析:利用对数函数的性质分析计算是解决本题的关键,具体解题过程如下:(1)方法一:函数的定义域为,又当时,,故函数的值域为.方法二:由题意可知,,排除选项、;又必为正值,排除选项.
(2)因为所以当时,4.又函数的值域为,所以当时,有解得,所以实数的取值范围是.
答案:(1)D (2)
题型3 对数函数的图象(直观想象)
典例3 [观察记忆能力](1)(2018山东青岛二中高一期中)函数的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019浙江卷)在同一直角坐标系中,函数,且的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题主要以观察对数函数图象特征、熟记性质和简单的变换.进行直观判断具体解题过程如下:(1)当时,即可排除选项.
(2)在函数中,当时,可得是递减函数,图象恒过点,是递增函数,图象恒过;当时,可得是递增函数,图象恒过点,是递减函数,图象恒过.满足要求的图象为.
答案:(1)D (2)D
题型4 利用对数函数的性质比较大小(逻辑推理)
典例4 [推测解释能力、分析计算能力](1)(2018天津卷)已知,则的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019全国卷III)设是定义域为的偶函数,且在单调递减,则( )
A.
B.
C.
D.
解析:利用对数函数的性质比较大小是高考考查的重点,掌握对数函数的性质和比较的方法进行逻辑推理是解题关键.具体解题过程如下:
(1)∵,又.
(2)∵是上的偶函数,∴.
∵,又在,单调递减,
∴,∴.
答案:(1)D (2)C
题型 利用对数函数的性质求单调性(逻辑推理)
典例5 [综合问题解决能力]甘肃静宁高一月考)已知函数.
(1)若的定义域为,求的取值范围.
(2)若,求的单调区间.
(3)是否存在实数,使在上单调递增 若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.
解析:本题综合了对数函数的概念、图象和性质,考查利用复合函数的单调性,解决对数函数的综合问题,运用复合函数的单调法则判断其单调性.具体解题过程如下:(1)函数的定义域为恒成立,∴,即,故的取值范围为.
(2)∵,解得.
∴.由,得或.设,对称轴为直线在上单调递减,在上单调递增.根据复合函数单调性规律可判断,在上单调递增,在上单调递减.即的单调递增区间为,单调递减区间为.
(3)不存在.理由:函数.设,可知在上单调递减,在,上单调递增,若在上单调递增,则2且且,不可能成立.故不存在实数,使在上单调递增.
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