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4.4对数函数
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：对数函数的概念、图象和性质.
难点：对数函数性质的归纳，对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的理解.
三、教科书编写意图及教学建议
为了让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，本节一开始就从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生进一步感受其中的函数模型.
与指数函数类似，本节安排的内容主要蕴含了数形结合的思想方法，具体体现在用对数函数的图象探究对数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解对数函数的图象.同时，本节的编写也充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值.教学时要通过具体的实际问题来体现数学思想方法和价值.
与指数函数类似，根据本节内容具有数形结合的特点和计算的需要，在教学过程中同样要发挥信息技术的作用，尽量利用信息技术创设教学情境，为学生的数学探究和数学思维提供支持，更好地克服可能遇到的困难，理解对数函数的概念、图象和性质.
4.4.1对数函数的概念
1.思考栏目：问题的提出
对数函数和指数函数可以从不同角度刻画同一问题的变化规律.在碳14衰减的问题中，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，但根据死亡生物体内碳14的残留量推断生物的死亡时间，就是对数函数研究的问题.教科书通过进一步提出与碳14衰减有关的思考问题，不仅可以得到对数函数的概念，还可以通过与指数函数的联系更好地理解对数函数.
2.对数函数概念的获得
与通过抽象概括出指数函数的概念不同，教科书是通过演绎推理得到对数函数的概念的.利用碳14衰减的问题，根据指数与对数的关系，由死亡生物体内碳14的残留量关于死亡时间的关系式，经运算推理，得到死亡时间关于生物体内碳14的残留量的关系式，然后从特殊到一般地给出对数函数的一般表达式.
教学中应该向学生明确提出问题，让学生通过运算推理回答问题，并在所得到的解析式和其中变量的取值范围的基础上，由教师给出对数函数的概念.
教科书从“过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点”及“对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数和它对应”两方面说明，“也是的函数”，前者可以让学生从图象上获得直观认识，后者则是回到函数的定义，前者为后者作了铺垫.教学应该从这两方面帮助学生深入理解对数函数的概念.
3.例题教学
例1通过求对数函数的定义域，熟悉对数函数的概念.
例2通过利用对数函数概念解决实际问题，理解对数函数的概念，进一步了解对数函数的实际意义，初步体会对数增长的特点.
4.4.2对数函数的图象和性质
1.画图象，概括对数函数的性质
有了指数函数的图象和性质的学习经历，对数函数的图象和性质的教学应该以学生为主，引导学生类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，从以下两个方面进行探究.
（1）观察图象、概括性质
首先，作出函数的图象.教科书同样给出了两种作图方式，教学时可以从中选择一种.
一种方式就是列表描点作图.教学时可以从简单的对数函数开始，再到，在研究了这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，从而概括它们的共同特点.列表描点作图也有两种方法：一是通过人工计算各个点的坐标，然后列表描点作图；但最好是选择第二种方法，利用计算工具直接计算各个点的坐标并列表，然后作图.
另一种方式就是根据函数解析式，利用具有函数作图功能的信息技术直接作图.为了更好地概括函数性质，应该对函数中的底数进行任意取值，作出大量的相应的具体对数函数的图象，并通过跟踪图象上的点，观察点的坐标的变化.
其次，根据图象概括函数的性质，就是让学生根据所作图象的特点，概括对数函数的定义域、值域、定点和单调性.
（2）由性质进一步认识图象
在由图象概括出函数性质后，还可以让学生根据所得性质进一步分析函数的图象，这样就可以从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法，培养学生的理性思维.
2.“思考”和“探究”的教学分析
（1）教科书第132页的“思考”是让学生用一种作图方式，首先获得“函数的图象与函数的图象关于轴对称”的结论；然后利用这个结论，通过思考，让学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象，其目的是让学生学习用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论.
这样思考的好处是便于将对数函数分为和两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳.由于对指数函数有过类似的探究，这里引入函数就不会再显得不够自然了.
（2）教科书第132页的“探究”是让学生用另一种作图方式，通过信息技术得到取任意值时函数的大量图象，并根据所作的这些图象直观地归纳出它们的共同特点.
这样探究的好处是底数的取值自然，所作函数的图象也是自然产生的，而非事先规定的，且信息技术能便捷地作出大量图象，易于进行归纳.由于指数函数有过类似的探究，这里要将对数函数分为和两类来讨论，对学生来说就很容易了.
在上述思考和探究的过程中，同样要有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，逐步完成表4.4-2的内容.
3.反函数的教学
《标准（2017版）》只要求学生知道同底的指数函数与对数函数互为反函数.教学中应注意按照函数的三要素来认识它们之间的关系，其中指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域.不要求学生讨论形式化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数.
（1）教科书在对数函数的概念中，已经从图象直观和函数定义两个方面说明指数函数，与对数函数，的关系，这里只是进一步说明这两个函数互为反函数，并强调了二者的定义域和值域的关系.
（2）第135页的“探究”是让学生再次通过和这一对具体的反函数，进一步明确同底的指数函数与对数函数互为反函数.
（3）如果有学生对反函数的学习还有需求或兴趣，可以引导他们去研究“探究与发现”中的问题，从而进一步了解互为反函数的两个函数图象间的关系.但这部分内容不作为一般要求.
4.信息技术的使用
为了便于作图，并易于概括出对数函数的性质，与指数函数一样，本小节可以在以下两方面使用信息技术.
（1）在同一平面直角坐标系内画出取任意值时函数的大量图象.可以设置的取值，然后通过控制的连续变化展示对应函数图象的分布情况；还可以逐个地取的值，然后分别作出对应函数的图象.
（2）计算函数的自变量取值及其对应的函数值并列表，然后将所得有序实数对描点并画出函数的图象.同理，作出函数的图象.跟踪函数图象上的点，观察这些点关于轴的对称点，发现所有的对称点均在函数的图象上，并由相互对称的点的坐标关系分析函数与的关系.
5.例题教学
例3的主要目的是利用对数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的对数函数是关键也是难点.本例能让学生进一步熟悉对数函数的性质，并促使他们形成用函数观点解决问题的意识.例4的主要目的是利用对数函数的概念和性质解决问题.本例能让进一步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识.
4.4.3不同函数增长的差异
1.探究指数函数与一次函数的增长差异
本章就是通过指数函数与一次函数增长差异的实例引入指数函数的概念，本小节进一步以具体函数为例，通过探究让学生进一步体会它们的增长差异，从而对指数函数有进一步的认识.
教科书是从一个较小的范围到一个较大的范围，让学生通过图象和数表逐步观察函数和的增长变化情况，在区间上，可以观察到两个函数的增长差异不大；而在区间上，则可以观察到两个函数的增长差异就很大.如果在更大的范围内，两个函数的增长差异就更加明显了，这正说明了指数函数的增长由慢变快且越来越快的爆炸性增长的特点.
这里之所以选择一次函数与指数函数进行比较，除了能体现这两种函数的增长差异外，还能较好地体现指数函数爆炸性增长的特点.在实际教学中，还可以选择其他的一次函数和指数函数进行比较.这里主要是让学生直观地感受不同函数的增长差异，不必给出严格的证明.
2.探究对数函数与一次函数的增长差异
与指数函数类似，教科书也是通过探究，让学生根据图象和数表逐步观察两个具体函数和的增长变化情况.在区间上，可以观察到两个函数的增长存在明显的差异.为了更好地体现对数增长逐渐趋缓的特点，教科书还进一步提出了“思考”问题，将放大1000倍，提高其增长速度，然后再与进行比较，让学生得到类似的结论.
之所以选择一次函数而没有选择与对数函数进行比较，是因为的增长速度比慢，这样更能体现对数函数增长逐渐趋缓的特点.在实际教学中，还可以选择增长速度更慢的一次函数与对数函数进行比较，或将放大更多倍.另外，也可以在更大范围内观察一次函数与对数函数的增长差异.这里主要也是让学生直观地感受不同函数的增长差异，不必给出严格的证明.
3.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸"的含义
第136页的“探究”主要是为了让学生感受到指数函数与一次函数的增长差异，初步体会“指数爆炸”；第137页的“探究”主要是为了让学生感受到对数函数与一次函数的增长差异，初步体会“对数增长”；第138页的“探究”将指数函数、对数函数和一次函数放在一起进行比较，主要是为了让学生进一步感受三者的增长差异，再次从图象上直观地体会“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.学生有了对不同函数增长差异的认识，在后续学习中就能根据这种增长差异，选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律，并更好地理解不同函数类型的特点，逐步理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.
4.信息技术的使用
在本小节的教学中，信息技术将起到至关重要的作用.教科书主要是通过图象和表格数形结合地体现各个具体函数之间增长变化的差异.如果没有信息技术，要计算出各个函数的值并准确地画出它们的图象，几乎是不可能的.特别是想根据需要观察不同范围内各函数间增长的差异，只有通过信息技术改变坐标单位或视窗设置才能方便实现.
教学中，不仅可以利用信息技术分别作出教科书中各个具体函数的图象及其对应的表格，还可以设置，，的取值，并通过控制，，的连续变化展示对应的函数，，和的图象的增长变化情况.
5.练习教学
本小节设置了三个“探究”和一个“思考”，没有设置例题，练习要结合“探究”和“思考”的结论来完成.
练习第1题，通过比较不同变量的值，理解“指数爆炸”的含义.
练习第2题，通过比较具体的指数函数和一次函数的增长差异，进一步理解“直线上升”和“指数爆炸”的含义.
练习第3题，利用函数图象解决问题，进一步体会对数函数和一次函数增长的差异.
练习第4题，根据不同函数增长的差异选择函数模型，进一步理解“对数增长”的含义.

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