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《对数函数》能力探究
概括理解能力、分析计算能力 对数型函数的定义域的求解策略
对数型函数是考查定义域问题的重点函数,求对数型函数的定义域主要从以下几方面考虑:
(1)真数大于0.
(2)底数大于0,且不等于1.
(3)分式中的分母不等于0.
(4)偶次根式中被开方数大于或等于0.
(5)指数为0的幂的底数不等于0.
(6)根据底数的取值确定函数的单调性.
典例1 [数学运算、逻辑推理]函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题,进行推理、运算.本题根据偶次根式下被开方数非负、对数函数的真数大于0,分式中的分母不等于0列不等式,解不等式得函数定义域.具体解题过程如下:由得故函数的定义域为.
答案:
分析计算能力 对数型函数的值域与最值的求解策略
1.求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值),一般是根据单调性进行求解,若需要换元,需考虑新元的取值范围.
2.对于形如,且的复合函数,其值域的求解步骤如下:
(1)分解成两个函数;
(2)求的定义域;
(3)求的取值范围;
(4)利用的单调性求解即可.
典例2 [逻辑推理、数学运算]设,且,求函数的最大值与最小值.
解析:求函数的最值时,注意定义域对它的影响,再结合函数的单调性进行分析、计算和逻辑推理,具体解题过程如下:
∵,设,又,即.又因为是关于的减函数,因此,函数(的最大值是,最小值是.
分析计算能力、推测解释能力 对数式的比较方法
1.单调性法:比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值,底数与1的大小关系,利用对数函数的单调性比较大小.
2.中间量法:比较不同底数对数的大小,常借助于中间值0进行比较,利用口诀“同大异小”判断对数的符号;对于对数和均与1比较大小,当和都同大于(小于)1时,,否则.
3.分类讨论法:比较同底数(不是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,分类讨论对数函数的底数与1的大小关系,利用对数函数的单调性比较大小.
4.比较多个对数式的大小,则应先根据每个对数式的结构特征,以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的对数式的大小即可.
5.比较含参数的两个对数式的大小,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件.
典例3 [逻辑推理](1)(2018黑龙江哈尔滨三中高一检测)已知,则下列函数值的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山东青岛二中期末)三个数,的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019山东曲阜期末考试)已知实数的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题主要运用逻辑推理、分析计算和对数式的比较方法解题.具体解题过程如下:
(1)∵函数的图象单调递增,∴.
(2)∵.
(3)∵.
答案:(1)B (2) A (3)D
分析计算能力 对数不等式的三种考查类型及求解方法
1.形如的不等式,借助的单调性求解,如果的取值不确定,需分与两种情况进行讨论.
2.形如的不等式,应将化为以为底数的对数式的形式,再借助的单调性求解.
3.形如,且均不等于的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象进行求解.
典例4 [数学运算]解不等式:2).
解析:解对数不等式的关键在于不等式变形,然后利用对数函数的单调性求解运算.具体解题过程如下:
原不等式可化为,即,即原不等式的解为.
综合问题解决能力 对数型复合函数单调性的求解策略
1.对数型复合函数一般可分两类:一类是对数函数为外函数,即且型;另一类是对数函数为内函数,即且型.
2.对数型复合函数单调性的求解策略
(1)确定函数的定义域.
(2)判断函数在定义域上的单调性.
(3)结合底数或确定函数的单调性.
函数,且1)的单调性 函数,且的单调性
当时,函数在上单调递增 在上单调递增,则在上单调递增;在上单调递减,则在上单调递减
当时,函数在上单调递减 在上单调递增,则在上单调递减;在上单调递减,则在上单调递增
典例5 [数学运算、逻辑推理](1)(2019山西阳泉统考)已知函数,且4,则的值为( )
A.
B.
C.0
D.2
(2)设函数,则是( )
A.奇函数,且在上是增函数
B.奇函数,且在上是减函数
C.偶函数,且在上是增函数
D.偶函数,且在上是减函数
解析:本题综合了对数函数、其他常用函数的奇偶性、单调性等知识,进行综合运算和步步推理.具体解题过程如下:
(1),又.
(2)由题意得,函数定义域为,关于原点对称,且为奇函数,又,得在上为增函数,故在上为增函数.
答案:(1)C (2)A
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