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《对数函数》知识探究
探究点1 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数的依据:
(1)形如;
(2)底数满足,且;
(3)真数为,而不是的函数;
(4)定义域为.
【要点辨析】
学习对数函数概念的注意事项
(1)对数符号前面的系数是1.
(2)由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,所以对数函数的定义域是.
(3)对数函数中底数的限制条件:,且.
学科素养:根据对数函数的概念、推测解释,从而解决问题,提升学生的数学抽象、数学运算核心素养.
典例1 [概括理解能力]已知下列函数①;②;③;④是常数).其中是对数函数的是__________(只填序号).
解析:本题主要考查根据对数函数概念判断命题是否成立,具体解题过程如下:根据对数函数的真数是,而不是的函数;对数函数的系数是1;对数函数的底数,且得到①②④都不是对数函数.
答案:③
探究点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数,且的图象特点
(1)图象在轴右侧,且过点.
(2)图象都无限地靠近轴,但不会与轴相交.
(3)当时,图象自左向右“上升”,当时,图象自左向右“下降”.
2.底数对函数图象的影响
(1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当时,对数函数的图象“上升”;当时,对数函数的图象“下降”.
(2)函数与,且的图象关于轴对称.
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
①上下比较:在直线的右侧,时,越大,图象向右越靠近轴;时,越小,图象向右越靠近轴.
②左右比较:比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.(如图所示)
【要点辨析】
两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线右侧的部分是“底大图低”.(如图所示)
学科素养:利用对数函数的图象与性质解决相关问题,提升学生的数学运算核心素养.
典例2 [分析计算能力](1)(2018广东汕头一中期中)已知,且,则函数的图象必过定点_________.
(2)若函数,且的图象恒过定点,则实数的值分别为_________.
(3)(2018江苏徐州一中高一检测)设,,其中.
①若,求的值;
②若,求的取值范围.
解析:通过对数函数的图象特征和基本性质分析计算解决本题.具体解题过程如下:
(1)当即时,恒成立,所以的图象必过定点.
(2)∵函数的图象恒过定点将代入,得,又当,且时,恒成立,∴.
(3)①∵,
∴,解得,经检验,在函数的定义城内,
∴.
②,
即,
∴解得,
∴的取值范围为.
探究点3 对数函数图象的变换
1.常见的图象变换
一般地,函数(为正数)的图象可由函数的图象变换得到.
将的图象向左或向右平移个单位长度可得到函数的图象,再向上或向下平移个单位长度可得到函数的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减)
2.含有绝对值的函数的图象变换
一般地,的图象是与直线对称的对称图形;函数的图象与的图象在轴上方相同,在轴下方关于轴对称.
【要点辨析】
常见的对数图象变换:
学科素养:利用对数函数图象的变换解决对数型函数的图象问题,培养学生的直观想象核心素养.
典例3 [观察记忆能力]函数是( )
A.
B.
C.
D.
解析:解决此类问题可以根据对数函数性质变换解析式,也可以观察图象,用排除法,具体解题过程如下:
方法一:,而的图象与的图象关于轴对称,所以将的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.
方法二:根据定义域、单调性排除选项A、B、D.
答案:C
探究点4 几类函数模型的增长差异
1.几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧上升,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:当时,幂函数是增函数,且当时,越大其函数值的增长就越快.
2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地,在区间上,尽管函数,和都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度会越来越慢.
因此,总会存在一个,当时,就有.
3.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质函数
在上的 单调性 递增 递增 递增
增长速度 越来越快 越来越慢 越来越快
图象的变化 随x的增大 越来越陡 随x的增大逐渐变缓 随着n值的 不同而不同
【要点辨析】
1.进一步理解三个增长函数模型
(1)直线上升,其增长量固定不变.
(2)指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升无法企及的,随着自变量的不断增长,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,因此指数增长可以用“指数爆炸”来形容.
(3)对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升的速度.
2.选取上述三个增长函数模型时,应注意:
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型可以描述增长幅度不同的变化,当值较小时,增长较慢;当值较大时,增长较快.
学科素养:通过分析函数模型的增长差异,解决函数相关问题,提升学生的数学建模、逻辑推理核心素养.
典例4 [推测解释能力、分析计算能力](1)(2018四川宜宾二中月考)在一次数学实验中,采集如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则的函数关系与下列哪类函数最接近 (其中为待定系数)( )
A.
B.
C.
D.
(2)某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为(其中为常数,表示时间,单位:小时,表示病毒个数),则_________,经过5小时,1个病毒能繁殖__________个.
(3)如图所示,函数和的图象交于点,且.①请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数;②结合函数图象,比较,的大小.
解析:(1)根据表中的数对画图象是解题的关键.如图:
(2)用代入法解决本题,当时,,∴.当时,.
(3)明确指数函数、对数函数、幂函数三种常见函数的递增特点是解决此类问题的关键.具体解题过程如下:
①曲线对应的函数为,曲线对应的函数为.
②∵,019.由图可知,当时,;当时,,且在上是增函数,∴.
答案:(1)B (2)
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