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2021-2022学年上海市静安区风华中学八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．的一个有理化因式是（　　）
A． B． C．+ D．﹣
3．下列关于x的方程说法正确的是（　　）
A．x2＝﹣x没有实数根
B．x2+1＝0有实数根
C．4x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根
D．x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）一定有实数根
4．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．斜边上的中线相等的两直角三角形全等
B．有一个锐角对应相等的两直角三角形全等
C．有两边及第三边上的高对应相等的两三角形全等
D．有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（　　）
A．点D在AB的垂直平分线上
B．点D到直线AB的距离为1
C．点A到直线BD的距离为2
D．点B到直线AC的距离为
二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）
7．计算：＝　 　．
8．函数y＝的定义域是　 　．
9．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣1＝　 　．
10．经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　 　．
11．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　 　．
12．某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售．设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程 　 　．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
14．已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　 　．
15．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022．”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝15°，AD是斜边BC上的中线，BE⊥AD，垂足为点E，那么＝　 　．
17．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8厘米，AC＝5厘米，那么BC＝　 　厘米．
18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 　 　．
三、简答题（共5题，每题6分，满分30分）
19．计算：．
20．解方程：3x﹣＝2．
21．甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）．
（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论）
（2）乙慢跑的速度是每分钟 　 　千米；
（3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　 　千米．
22．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10．
（1）用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
（2）如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是 　 　．
23．如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长．
四、解答题（共3题，第24题8分，第25题8分，第26题12，满分28分）
24．如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H．
（1）求证：∠PBH＝∠PCG；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．
25．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、点B，已知点A（3，m）．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）已知点B（n，﹣1），求线段AB的长；
（3）如果点C在坐标轴上，且△ABC的面积为6，求点C的坐标．
26．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】化简二次根式，即可判定．
解：A、与不是同类二次根式；
B、与是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、与不是同类二次根式；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确化简二次根式．
2．的一个有理化因式是（　　）
A． B． C．+ D．﹣
【分析】找出原式的一个有理化因式即可．
解：的一个有理化因式是，
故选：B．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．
3．下列关于x的方程说法正确的是（　　）
A．x2＝﹣x没有实数根
B．x2+1＝0有实数根
C．4x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根
D．x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）一定有实数根
【分析】A．将原方程变形为一般式，由根的判别式Δ＝1＞0，可得出方程x2＝﹣x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣4＜0，进而可得出方程x2+1＝0没有实数根，选项B不符合题意；
C．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣12＜0，进而可得出方程4x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝m2+8＞0，进而可得出方程x2﹣mx﹣2＝0有两个不相等实数根，选项D符合题意．
解：A．原方程变形为一般式为x2+x＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×0＝1＞0，
∴方程x2＝﹣x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴x2+1＝0有实数根，选项B不符合题意；
C．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×1＝﹣12＜0，
∴方程4x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，
∴方程x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）有两个不相等的实数根，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
4．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【分析】根据正比例函数的定义解决此题．
解：A．设圆的半径为r，面积为S，则S＝πr2，那么S与r不是正比例关系，故A不符合题意．
B．设长方形的面积为a，长为x，宽为y，则a＝xy，那么x与y成反比例函数关系，故B不符合题意．
C．设正方形的边长为x，周长为C，那么C＝4r，那么C与r成正比例关系，故C符合题意．
D．设三角形的面积为S，它的一条边长与这条边上的高分别为x与y，则S＝，那么x与y是反比例关系，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．斜边上的中线相等的两直角三角形全等
B．有一个锐角对应相等的两直角三角形全等
C．有两边及第三边上的高对应相等的两三角形全等
D．有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等
【分析】利用全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、斜边上的中线相等的两直角三角形不一定全等，错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个锐角对应相等的两直角三角形相似但不一定全等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题，不符合题意；
D、有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定方法，难度不大．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（　　）
A．点D在AB的垂直平分线上
B．点D到直线AB的距离为1
C．点A到直线BD的距离为2
D．点B到直线AC的距离为
【分析】根据三角函数的定义得到∠A＝30°，根据三角形的内角和得到∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝30°，求得点D在AB的垂直平分线上，过D作DE⊥AB于E，求得点D到AB的距离为1，BC＝CD＝，得到点B到AC的距离为，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，得到点A到BD的距离为．
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，CD＝BD＝1，
∴AD＝BD＝2，
∴点D在AB的垂直平分线上．
故选项A结论正确；
过D作DE⊥AB于E，
∴DE＝DC＝1，
∴点D到AB的距离为1（故选项B结论正确），BC＝CD＝，
∴点B到AC的距离为，
故选项D结论正确；
过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，
∴AF＝AB＝BC＝，
∴点A到BD的距离为，
故选项C结论不正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）
7．计算：＝　2x　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
解：＝2x．
故答案为：2x．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8．函数y＝的定义域是　x≥　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解：根据题意得：3x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为x≥．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣1＝　（x﹣）（x﹣）　．
【分析】令多项式等于0，求出方程的解，即可对多项式进行因式分解．
解：令x2﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝，
∴x1＝，x2＝，
∴x2﹣3x﹣1＝（x﹣）（x﹣），
解法二：原式＝（x2﹣3x+）﹣1﹣
＝（x﹣）2﹣（）2
＝（x﹣）（x﹣）．
故答案为：（x﹣）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，求出多项式为0时方程的解是解决本题的关键．
10．经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　以点A为圆心，2cm为半径的圆　．
【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点2厘米能画一个什么图形．
解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，2cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆．
【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
11．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售．设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程 　12000（1﹣x）2＝9800　．
【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格列方程即可．
解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
12000（1﹣x）2＝9800，
故答案为：12000（1﹣x）2＝9800．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＞﹣8　．
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到Δ＞0，即（﹣4）2+4×1×（m+4）＞0，解不等式即可．
解：∵x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣4）2+4×1×（m+4）＞0，
解得m＞﹣8，
所以m的取值范围是m＞﹣8．
故答案为：m＞﹣8．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等实数根；当Δ＝0，方程有两个相等实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．
14．已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　﹣　．
【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．
解：
∵y＝（m+1）x为正比例函数，
∴m2﹣1＝1，解得m＝±，
∵图象经过第二、四象限，
∴m+1＜0，
∴m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．
15．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022．”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　y＝﹣　．
【分析】先设反比例函数的解析式y＝，根据甲同学说的可知k＝±2022，根据乙同学说的可知k＜0，综合可得k＝﹣2022，即得到反比例函数的解析式．
解：从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016，
|k|＝|xy|＝2022，
k＝2022或k＝﹣2022，
∵这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大，
∴k＝﹣2022，
故反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，先由面积求出|k|，再由反比例函数的性质求出k的值．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝15°，AD是斜边BC上的中线，BE⊥AD，垂足为点E，那么＝　　．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形和三角形外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠DAC＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠DAC＝∠C＝15°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠BED＝90°，
∴BD＝2BE，
∴DE＝＝＝BE，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含有30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
17．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8厘米，AC＝5厘米，那么BC＝　　厘米．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8厘米，AC＝5厘米，
∴BC＝＝＝（厘米），
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 　　．
【分析】由勾股定理的逆定理可求∠BAC＝90°，由折叠的性质可得AE＝AC＝8，DC＝DE＝5，可得AD是CE的中垂线，由勾股定理可求解．
解：如图，延长AD交CE于点F，
∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，
∴BC2＝100＝36+64＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BD＝5，
∵将△ACD沿AD翻折后，
∴AE＝AC＝8，DC＝DE＝5，
∴AD是CE的中垂线，
∴EF＝CF，AF⊥CE，
∵AC2﹣AF2＝CF2＝CD2﹣DF2，
∴64﹣（5+DF）2＝25﹣DF2，
∴DF＝，
∴CF＝＝＝，
∴CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解．
三、简答题（共5题，每题6分，满分30分）
19．计算：．
【分析】先分母有理化，然后把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解：原式＝﹣2﹣﹣2（﹣）
＝﹣2﹣﹣2+2
＝﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20．解方程：3x﹣＝2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．
解：方程整理得：x2﹣6x+5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝5，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）．
（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论）
（2）乙慢跑的速度是每分钟 　　千米；
（3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　　千米．
【分析】（1）根据所给解析式可知函数过原点，并过点（60，5），由这两点即可得出答案．
（2）乙慢跑所行的路程除以时间即可得乙慢跑的速度；
（3）甲修车后行驶路程是3km，所用时间是20min，即可求出速度．
解：（1）∵乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s＝t（0≤t≤60）．
当t＝60时，s＝×60＝5，
∴函数过原点，并过点（60，5），
所画图形如下所示：
（2）乙慢跑的速度为，
5÷60＝（千米/分钟），
故答案为：；
（3）甲修车后行驶20min，所形路程为3km，
故甲修车后行驶的速度为：3÷20＝（千米/分钟），
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意，数形结合是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10．
（1）用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
（2）如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是 　25　．
【分析】（1）作∠ACB的平分线，与AB的交点即为点P．
（2）过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，则PM＝PN，利用三角形的面积公式可求得PN，即可得PM，再利用三角形的面积公式可得答案．
解：（1）如图，点P即为所求．
（2）过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，
∴PM＝PN，
∵△ACP的面积为15，
∴＝PN＝15，
解得PN＝5，
∴PM＝5，
∴△BCP的面积为＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
23．如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长．
【分析】设AB的长为x，则BE的长为（20﹣x）米，BC的长为（42﹣2x）米，根据鲜花种植总面积为192平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长20米，即可得出AB和BC的长．
解：设AB的长为x，则BE的长为＝（20﹣x）米，BC的长为2（20﹣x）+2＝（42﹣2x）米，
依题意得：2x（20﹣x）＝192，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，42﹣2x＝42﹣2×8＝26＞20，不合题意；
当x＝12时，42﹣2x＝42﹣2×12＝18＜20，符合题意．
答：AB的长为12米，BC的长为18米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（共3题，第24题8分，第25题8分，第26题12，满分28分）
24．如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H．
（1）求证：∠PBH＝∠PCG；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到PH＝PG，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠BPC＝90°，根据直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PH＝PG，
∵PE垂直平分边BC，
∴PB＝PC，
在Rt△PBH和Rt△PCG中，
，
∴Rt△PBH≌Rt△PCG（HL），
∴∠PBH＝∠PCG；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠PBH＝∠PCG，
∴∠PBH+∠ABC+∠PCB＝∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∵PE垂直平分边BC，
∴BE＝CE，
∴PE＝AE＝BC，
∴点E在AP的垂直平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，是熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、点B，已知点A（3，m）．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）已知点B（n，﹣1），求线段AB的长；
（3）如果点C在坐标轴上，且△ABC的面积为6，求点C的坐标．
【分析】（1）把A的坐标为（3，m）代入y＝x，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得OA的长度，然后根据反比例函数的对称性即可得到AB＝2OA，进而即可求得AB的长度；
（3）根据题意得到B点的坐标，然后根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝6，求得OC的长度，即可得到C的坐标．
解：（1）∵点A在正比例函数y＝x的图象上，点A的坐标为（3，m），
∴m＝1，
∴点A坐标为（3，1）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴1＝，解得k＝3．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意AB＝2OA，
∵点A坐标为（3，1）．
∴OA＝＝，
∴AB＝2；
（3）∵A、B关于原点对称，A（3，1），
∴B（﹣3，﹣1），
当点C在x轴上时，则S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝OC 2＝6，
∴OC＝6，
∴点C（6，0）或（﹣6，0）；
当点C在y轴上时，则S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝OC 6＝6，
∴OC＝2，
∴点C（0，2）或（0，﹣2）；
综上，点C的坐标为（6，0）或（﹣6，0）或（0，2）或（0，﹣2）．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）求出∠BCQ＝30°，由直角三角形的性质得出BQ＝BC＝3．由勾股定理可得出答案；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，证明△BPQ为等边三角形，由勾定理得出+，则可得出答案．
解：（1）∵AC＝2，AB＝4，BC＝6，
∴AC2+BC2＝48，AB2＝48，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝30°；
（2）∵点P关于直线AB的对称点为点Q，
∴BD垂直平分PA，
∴PB＝BQ，
∴∠QBD＝∠PBD＝30°，
∴∠PBQ＝60°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠BCQ+∠PBQ＝90°，
∴∠BCQ＝30°，
∴BQ＝BC＝3．
∴CQ＝＝3；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∵QH⊥BP，BP＝x，
∴BH＝x，
∴CH＝6﹣x，
∴QH＝＝x，
∵∠CHQ＝90°，CQ＝y，
∴+，
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x＜6）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

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