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易错点06 解三角形
易错点06 解三角形
易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝；cos B＝； cos C＝ （1）a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； （4）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
易错点2：三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错
（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高).
（2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（ ）
A． B．5 C．8 D．
7．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
一、单选题
11．已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
13．在中，已知，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
14．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
15．记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
17．如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
18．内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
三、解答题
19．已知的内角所对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
20．记的内角的对边分别为，且.
(1)求;
(2)若，求.
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易错点06 解三角形
易错点06 解三角形
易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝；cos B＝； cos C＝ （1）a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； （4）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
易错点2：三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错
（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高).
（2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．
【详解】由，边化角得，
又，所以，
展开得，
所以，
因为，所以．
故选：B．
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由，利用正弦定理得，然后结合已知条件利用余弦定理可求出
【详解】．由正弦定理可得．
又∵，，
∴由余弦定理，
可得，
解得或（舍去）．
故选：B．
3．已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．
【详解】因为，由正弦定理得，所以（舍去），
三角形周长为5，，则，，
由等腰三角形性质知边上的高为，
所以三角形面积为．
故选：A．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由三角形的面积公式，可得，
根据余弦定理，可得，
则整理出以为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得的最值.
【详解】由题意得，所以，
又因为，所以，
所以，其中，且，
所以的取值范围为，
故选：B.
5．已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据题意化简得，再由的面积为得，再由关于角的余弦定理加基本不等式即可求出答案.
【详解】
（当且仅当时取等号），
∴
故选：A.
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（ ）
A． B．5 C．8 D．
【答案】A
【分析】由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案
【详解】由题意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故选：A
7．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及余弦定理可得，利用辅助角公式及均值不等式可得，据此求出，再由诱导公式求得即可.
【详解】由正弦定理可得，
，又，
，
化简得：
当且仅当时取等号，即，
其中，，
即，又，，
，，即，
，
.
故选：B
8．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出.
【详解】由得，
结合余弦定理，可得，
再由正弦定理得，因为，
所以，所以，得．
因为，所以．
故选：B
9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理结合条件可化为，由辅助角公式可得最大值.
【详解】(当且仅当时取等号)
由，可得
， 其中 ，当且仅当时取得等号,
所以
故选：C
10．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据因为，，利用正弦定理得到，代入体积公式求解.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，
故选：A
一、单选题
11．已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理及诱导公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.
【详解】∵，，
∴由正弦定理得，
因为，所以，即，
∴，即．
故选：B.
13．在中，已知，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出和角，再分析求解即可.
【详解】根据正弦定理得：，所以，
因为，所以.
故选：C.
14．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.
【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：A．
15．记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理角化边可直接化简得到结果.
【详解】由正弦定理得：.
故选：C.
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可知，
在中，由余弦定理可得：，解得， ，故
故选：D
二、多选题
17．如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积无最大值
【答案】AB
【分析】根据正弦定理进行边化角求角，从而判断选项A，B正确；把四边形的面积表示成的三角函数，从而根据三角函数求最值
【详解】因为，
所以由正弦定理，得，
所以，
又因为，所以，所以
因为所以，
又因为，所以， 所以，
所以，因此A，B正确；
四边形面积等于
，
所以当即时，取最大值，
所以四边形面积的最大值为，
因此C，D错误
故选：AB
18．内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周长为，C错误；
由上知：，，可得，则的面积为，D正确.
故选：ABD.
三、解答题
19．已知的内角所对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知条件由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；
（2）结合（1）由基本不等式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）解：在中，因为，
所以由正弦定理可得，即，
所以，
因为，
所以；
（2）解：时，由（1）可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
20．记的内角的对边分别为，且.
(1)求;
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合角之间的关系可得结果；
（2）先根据余弦定理求出的值，结合题意进行取舍，可得结果.
（1）
因为 ，由正弦定理得
又，所以.
故.
（2）
由余弦定理
将代入；解得
当时，， 满足
当时，不满足，故舍去.
综上:.
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