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第四章 几何图形初步
4.2 直线、射线、线段
第1课时 直线、射线、线段
学习目标：1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角
的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点：了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.
难点：运用余角、补角和方位角的相关知识解题.
自主学习
教学备注：学生在课前完成自主学习部分。
一、知识链接
如图①，在长方形中，∠1+∠2= °，
∠3+∠4= °.
图①
二、新知预习
1. 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______ ).
如图①，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
2. 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______).
如图①，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.
三、自学自测
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
2. 图中给出的各角，哪些互为补角？
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：有关余角和补角的计算
例1 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
方法总结：余补角问题中，若角之间有比较明显的倍分关系，可尝试将较小的角设为未知数，列方程解答.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
观察与思考：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(0＜x＜90)
观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.
针对训练
如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（　　）
A．54° B．64° C．144° D．134°
2.如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD=18°，则∠BOC的度数为_____.
第2题图 变式题图
【变式题】一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大44°，则∠1=______.
3.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.
探究点2：余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
例3 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
针对训练
如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
探究点3：方位角
八大方位
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北 (即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
针对训练
1. 如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向为 .
(2) 射线 OB 表示的方向为 .
(3) 射线 OC 表示的方向为 . .
(4) 射线 OD 表示的方向为 .
2.费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
二、课堂小结
当堂检测
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
4.∠1与∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，则∠1= ，∠2= .
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
6 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色
漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
(2) 点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点 A在点C的________方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30°
C. 南偏东60° D. 南偏西60°
参考答案
自主学习
一、知识链接
90 180
二、新知预习
1.余角 互余 2.补角 互补
三、自学自测
1.10°和80°的角、25°和65°的角、44°和46°的角互为余角.
2.15°和165°的角、31.5°和148.5°的角、50°和130°的角、70°和110°的角互为补角.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
例1 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) .解得x = 60.
答：这个角的度数是60°.
例2 解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=（180°-x），∠AON=x.所以（180°-x）-x=40°. 解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
观察与思考
90°
【针对训练】
1.A 2.162° 【变式题】67°
3. 解：∵∠A与∠B互余，∴∠A+∠B=90°，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，
∴∠A=3∠B+30°，∴3∠B+30°+∠B=90°，解得∠B=15°．故∠B的度数为15°．
探究点2：
思考 ∠2=180°－∠1，∠3=180°－∠1，∠2=∠3.
例3 解：（1）∠COE、∠BOE ∠COE、∠BOE
解：是，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=
∠COD+∠COE，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC.
【针对训练】
∠BOC 和 ∠AOD
探究点3：
射线 OA 射线 OB 射线 OC 射线 OD
射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG
例4 解：
【针对训练】
1.(1) 北偏东 40° (2) 北偏西 65° (3) 南偏西 45°(西南) (4) 南偏东 20°
2.解：如图所示.
当堂检测
1. A 2.D 3. 150° 4. 62° 28°
5.解：（1）∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°. ∠1+∠B=90° ，∠1+∠2=90°.
（2）∠B=∠2 ( 同角的余角相等 )，∠A=∠1 ( 同角的余角相等 ).
6.解: （1）如图所示.
（2）D

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