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5.1任意角和弧度制
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：将到范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度与角度的互换.
难点：任意角概念的建构，弧度的概念，用集合表示终边相同的角.
三、教科书编写意图及教学建议
周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体.教科书单刀直入地提出问题：如何刻画圆周上一点的位置变化？通过分析，得出“可以借助角的大小变化刻画”.容易发现，在点的运动过程中，角的范围将超出
～，就有必要推广角的概念.
利用几何直观有利于抽象概念的理解.教科书充分利用单位圆，引导学生了解任意角及弧度制概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使任意角的讨论有了一个统一的“标准”.教学中，要特别注意利用单位圆、直角坐标系等工具，引导学生数形结合地认识与刻画周期现象.
使用信息技术可以动态地表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察角的大小变化与终边位置的关系，因此要注意用信息技术帮助学生了解任意角和弧度的概念.
5.1.1任意角
教科书首先通过实际问题（体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，将角的范围推广到任意角，在直角坐标系中表示
角——象限角，并研究象限角的性质——终边相同的角的代数特征.这样可以使学生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景—定义—度量—运算—性质”的研究路径.
1.任意角的概念
教科书通过问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们认识到要准确地表达旋转运动过程，需要同时说明旋转量和旋转方向.教学时，可以先让学生思考“怎样才能准确地描述旋转现象”，引导学生体会仅用～的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题：推广角的范围，如何推广？
学生过去接触的角都在～，关于角的认识已形成一定的思维定势.为此，除了教科书中的例子，教学时还可以再举一些实际例子，用以说明引入新概念的必要性和实际意义.同时，还可以借助信息技术，让学生在动态的过程中体会：角是转出来的，在角的终边“任意”旋转的过程中，角的范围不能限于～；要准确地刻画一个角，必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向.
初中研究过平面图形的旋转，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础.如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示“方向”，逆时针方向为正、顺时针方向为负.可类比正数、负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”.如果一条射线没有做任何旋转（即旋转量为0），那么说它形成了一个零角，零角无正负，就像实数0无正负一样.
2.用符号代表方向的意义
任意角是“既有大小又有方向”的角，与向量有很大的可比性，所以我们先来看看用符号代表方向对于向量的意义.
用符号代表方向奠定了轴上向量数量化的基础.由此，就可以实现用实数表示向量：
在轴（具有方向和长度单位的直线）上取一点为原点，得数轴，并设它的基向量为，则上任意一点与向量一一对应，而且.这里叫做向量的数量，实际上就是数轴上点的坐标，这就是用实数表示向量的方法.
接下来，我们可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来：
在轴上，一个点从点运动到点，再从点运动到点，根据两次运动的不同方向，可以区分出四种情况（图5-3）：
图5-3
但无论如何，从数量上看，最终结果都有.这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和（表示了多次变化的结果），它给运算带来了极大方便，我们不必要再区分各种情况了.
显然，用符号表示方向才有.这是一个“常识”，但非常值得重视，而且它很重要.它叫沙尔定理，沙尔（Michel Chasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号.正如伟大的数学家F 克莱因指出的：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括.”
在角的扩充过程中，我们让角带上符号而成为任意角，正角的符号为“+”，负角的符号为“-”，于是有：设任意角的始边、终边分别为，，让旋转任意角到，则由旋转到的角是.显然，如果，不带有符号，那么我们就必须考虑：在旋转到时，是按顺时针还是按逆时针？
由上所述可知，教科书对任意角加法的定义是基于用符号表示方向，其依据是沙尔定理，这是研究三角函数的基础.
3.任意角的度量
关于度量，初中学过两类，一是线段、平面图形和空间图形的大小度量，是十进制，其中线段的长度是基础；二是“用角量角”的角度制，是六十进制.这里把角的范围从～（不超过一个周角）扩展到任意角，如果记任意角，那么.为了定义三角函数的需要，还需要引入“用长度量角”的弧度制.
4．任意角的运算
角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展.初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”.角的范围扩充后，不仅可以“小角减大角”，而且对两角和也赋予了全新的意义.教科书定义的两个任意角，的和是
把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它是合理的.
首先，字母，表示任意角，它们是带有符号的，当，的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针.为了方便，我们用，表示相应的旋转量.
角“”是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：
（1），；（2），；（3），；
（4），.
下面我们根据任意角的概念做一个分析：
对于（1），角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为.
对于（2），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为；若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.
对于（3），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为；若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.
对于（4），角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.
于是有：同号两角相加，取相同的方向，并把“绝对值”相加；“绝对值”不相等的异号两角相加，取“绝对值”较大的角的方向，并用较大的“绝对值”减去较小的“绝对值”.
显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角，我们称这两个角互为相反角，角的相反角记为.
一个角与零角相加仍得这个角.
综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有，即“减去一个角等于加上这个角的相反角”.这样，角的减法可以转化为加法.从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角后再旋转任意角，这时终边所对应的角是.
5.象限角
引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象.
在学习象限角时，应强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.在这个统一前提下，才能对象限角进行定义.终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便.
教科书169页边空中提出的问题，让学生说说在直角坐标系内讨论角的好处，是为了提醒学生，在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”的现象得到有效表示.
6.终边相同的角
这是研究具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后研究它的性质.有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的公式一.一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素之间的关系.从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道.
对于教科书170页的“探究”，我们知道，象限角的始边相同，以射线为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同”的共同特征.这一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有内在联系，数学要研究这种联系在数、形上如何表达，特别是要追求精确的量化表示，从定性到定量是研究数学问题的基本策略.
发现联系的方法：借助图象，观察几个与终边相同的角之间的数量关系，在“旋转整数周”的帮助下，通过运算发现共同特征：终边相同的角相差的整数倍，并得出表达式；再将推广到一般角.这里用到数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是数学地探索事物性质的普遍方法.
教学时，可以利用信息技术，在直角坐标系画出任意角，并测出角的大小，再观察角的终边旋转整数周后，其大小与原角之间的关系，从而将数、形联系起来，给出几何意义的代数解释.这里，从几何角度看，“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”，用数量关系表示，就是“终边相同的角相差的整数倍”，用符号形式表示就是“所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合”.
教学中应在教科书安排的“与终边相同的角的表示”这个问题上多用些时间，让学生进行操作与思考.应当引导学生认识：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍.
7.例题
例1实际上是利用终边相同的角的表示，在～范围内找出与已知角终边相同的角，并由此判定其为第几象限角，事实上这是判定一个角为第几象限角的一般方法.本例为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础.可引导学生先估计大致是的几倍，然后再具体求解.
例2是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式.另外，分析终边与轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释“两个集合中的元素相差的整数倍."
例3是让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示，例3与例2的本质是一样的，所以教学时应引导学生分析它们的共性，在此基础上还可以推广到其他直线.为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征.
5.1.2 弧度制
教科书首先通过类比引出用不同的单位制度量角的问题，在初中已有的弧长公式的基础上，先讨论弧长与弧所在圆的半径的关系，给出用弧长与半径的比值度量圆心角的弧度制；然后通过探究得到弧度与角度的换算方法，再通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性；最后强调了引进弧度制后，角的集合与实数集形成-一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础，与以往教科书比较，这里加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性.
1.为什么要引入弧度制
第三章中学习了用集合语言和对应关系描述的函数定义，函数是两个实数集之间的对应关系，而实数采用的进位制是十进制.为了研究周期性变化现象，我们需要建立任意角的三角函数.若沿用锐角三角函数的做法，角的度量采用六十进制的角度制，则与函数定义的要求不符.因此，我们需要引入新的度量制，它必须是十进制，它的单位应与实数的单位一致，从而使三角函数的自变量、函数值都是实数.
也许有人认为，把上述因素作为引入弧度制的理由并不充分，因为就像锐角三角函数一样，在角度制下研究三角函数也是可以的.我们要指出的是：尽管在角度制下也可以定义三角函数概念，但在后续研究中，自变量与函数值的度量单位不统一会引起很多麻烦.另外，周期性变化现象中的自变量不一定是角，像简谐振动、潮汐现象等的自变量是时间，所以，引进弧度制可以使三角函数在刻画现实世界中的周期现象时变得更好用.在解决实际问题时，有时需要同时应用几种不同类型的函数，有时需要进行自变量的值与函数值的运算，例如圆的渐开线的参数方程：
它实际上是由两个函数和确定的，其中是圆的半径，是圆心角.如果只有角度制，那么，的意义就不得而知了.事实上，随着数学学习的不断深入，弧度制的必要性会越来越显著.例如微积分中的重要极限，如果自变量是六十进制的角度，那就没有意义了.
总之，从满足函数定义的要求、三角函数的可用性，以及有利于数学的后续发展需要等方面看，引入弧度制都有基本的重要性.
2.弧度制的引入
弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，具体而言就是定义弧长等于半径的圆心角的大小为1弧度.
教科书首先通过类比长度、质量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，而且不同的单位制各有优点；然后，利用初中学过的弧长公式，探索圆心角、所对弧长与半径之间的关系，发现圆心角所对的弧长与半径的比值随的确定而唯一确定，从而使学生体会利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的合理性；最后给出定义、几何表示和代数表示.这里，弧度制的建构过程是
背景（引入弧度制的必要性、如何定义是合理的）—定义—表示.
其中，必要性只能有限涉及；合理性从“如此度量角的大小是唯一确定的”给出，这里可以提示学生注意数学中度量一个量的大小的方法；“表示”给出了几何表示和代数表示，即借助单位圆给出1弧度角的大小示意图，半径为的圆中弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则，的正负由角的终边的旋转方向决定.
3.弧度制的教学
理解1弧度的含义，即把握弧度制的单位，是了解弧度制并能进行弧度与角度换算的关键.在引进弧度制后，可以引导学生利用单位圆中的圆心角与所对弧的关系理解弧度制的本质.角的范围推广后，圆心角与弧的概念也随之推广：圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；圆心角、弧的正负与角的终边的旋转方向相对应，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.在直角坐标系中，如果以单位圆与轴的交点（1，0）为起点，圆心角的终边与单位圆的交点为终点，那么圆心角与弧是一一对应的.这样，在单位圆中，用圆心角所对应弧的大小（注意，弧的大小的取值范围是）刻画角大小的完备性和纯粹性兼备.
对于用等于半径的弧所对的圆心角作为弧度制的度量单位的合理性，教学中可以利用信息技术帮助学生认识.如图5-4（1），先用信息技术画一个圆，并在圆上截取等于半径，再作射线，便得到一个圆心角，这个角就是1弧度的角.按此方法再画一个与上述圆半径不同的圆（图5-4（2）），同样可得到另一个圆心角.测量，.
图5-4
另外，分别在图5-4的两个圆内取两个同样大小的圆心角，可测得它们所对的弧与各自半径的比值相等.这就说明，当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.因此，用圆心角所对弧长与半径的比值来度量这个圆心角是合理的.这样，教学时就可以引入单位圆，让学生直观地认识到，在单位圆中可以用大小为1的弧所对的圆心角作为角的度量单位.
引入弧度制后，应与角度制进行对比，使学生明确：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而的角是周角的；第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，由此借助单位圆理解角的度量制很方便；等等.
教学中要注意防止出现角的两种度量制混用的现象.写出与角终边相同的角（连同角在内）时，要根据角的单位来决定后一项的单位.也就是说，两项所采用的单位制必须一致，写成或是不规范的.
4.弧度与角度的换算
（1）换算问题的提出
关于单位换算，学生在义务教育阶段学过同一度量制下两种单位的换算，例如米、厘米、毫米之间的换算，平方米、平方厘米的换算，克、千克、吨的换算，度、分、秒的换算等；两种不同度量制的换算，只学过公顷与平方米的换算.弧度与角度的换算是两种不同度量制之间的换算，教科书通过探究栏目提出问题：“角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？”教学时要提醒学生注意这里的问题是如何发现的.实际上这是在告诉学生，同一个数学对象从不同角度去刻画它，所得到的结论一定有内在联系，发现这种内在联系是数学研究的一个基本任务.
（2）探究换算公式，关键是找到联系两种度量制的桥梁.教学时可以问学生：“你认为联系两种度量制的桥梁是什么？”因为单位圆的周长是，所以周角的弧度数是；学生已知周角的度数是360，于是就有 rad.接下来只要单位化就可以得出换算公式了，这里可以利用计算器.
教学时可以引导学生通过写出，，，，，，，等特殊角的弧度数，来熟悉度角度与弧度的换算公式，并要让学生记住.当然，记住 rad是最重要的.
（3）角的度量制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位".1密位就是圆周的所对的圆心角（或这条弧）的大小.因为
密位，所以
密位，1密位.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成
0-07，读作“零，零七”，478密位写成4-78，读作“四，七八”，密位不属于我国法定计量单位，所以不必在课内介绍.
5.例题
（1）例1和例2都是角度与弧度的换算.教学时要提醒学生注意，“度”的单位“”“”“”不能省略，“孤度”的单位“rad”先不要省略，并且不要用“rad”的中文名称“弧度”作为单位写在数据的后面.
这两道例题在角度与弧度转化之后，都使用计算器进行了计算.在学生熟悉了弧度与角度的换算后，一般可以让学生直接用计算器来完成换算.
例2后面列出的对应表，不仅要求学生会换算，而且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值.
（2）例3表明，弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引人弧度制带来的一个便利.教学中可以让学生思考：“为什么在弧度制下这些公式简化了？”实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”.而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了.

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