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5.3诱导公式
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.
难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系.
三、教科书编写意图及教学建议
任意角的三角函数的定义是借助单位圆得出的，三角函数的性质是圆的几何性质的代数化.圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系.因此，用数形结合的思想，从单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线等的对称性出发探究诱导公式，是一个自然的思路.
教科书中以“探究”为引导，依据单位圆的对称性，让学生自主发现单位圆上的点分别关于原点、坐标轴、直线对称时，对应的终边与角的终边之间的关系.进而利用三角函数的定义，将这种对称关系代数化，得到诱导公式.这样使得诱导公式（数）与单位圆（形）紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对公式的记忆，减轻学生的记忆负担.
1.诱导公式二～公式四
这部分内容教科书设置了一个“探究”、一个“思考”，目的是让学生通过自主思维活动，形成利用单位圆的对称性探究三角函数性质的思维方法，进而发现和证明诱导公式.
（1）诱导公式的探究
“探究1（1）”有着示范性，它承载着建立研究方法、培养用联系的观点看问题的习惯的重任.
教科书中的研究分三步进行：
第一步，建立角之间的关系.根据任意角的终边与单位圆的交点关于原点对称的点，写出以为终边的角与角的关系.
第二步，建立坐标之间的关系.根据圆的对称性，写出点与的坐标之间的关系；利用三角函数的定义，用角表示点与的坐标.
第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即诱导公式二.
其中第一步从形的角度入手研究；第二步将形的关系代数化，并从不同角度进行表示，体现了数形结合的思想方法；第三步则体现了联系性.这种研究思路，可以表示如下：
圆的对称性—角与角的关系—坐标间的关系—三角函数的关系.
教学时要用好教科书中的“探究”，紧扣其中的问题，引导学生的思维，发展学生的直观想象素养.
“探究1（2）”给学生留下了自主探究和推理论证的空间.教学时，可以引导学生，类比上述研究过程展开研究，进一步领会研究方法.
边空提示从旋转的角度认识圆的中心对称性，二者本质一致，为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作铺垫.
诱导公式应当以单位圆为载体，在理解的基础上记忆.注重诱导公式探究的过程，就能使学生建立各组公式与图形的联系，加深理解公式，学会利用单位圆帮助记忆.
（2）例题与思考
例题教学中，不能满足于完成求值、化简，要引导学生总结利用诱导公式解题的基本步骤：先明确角所在的象限，再选择恰当的诱导公式，并按照一定的程序进行运算，求得运算结果.通过完成“思考”，引导学生梳理求解过程，明确从任意角转化为锐角（或零角）的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力.
在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四解决了问题.信息化的今天，利用诱导公式“求值”已不是重点，所以教学时应该将重点放在研究诱导公式中所体现的数学思想方法上.
2.诱导公式五～公式六
（1）诱导公式的探究
“探究2”与“探究1”相比，采用的研究方法一样，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度，体现在如下两个方面：
第一，终边关于直线对称的两个角之间的关系.
角的终边与角的终边关于直线对称，那么.这个结论需要分多种情况，穷举证明.
第二，直角坐标系中关于直线对称的两个点的坐标之间的关系.
点与点关于直线对称，那么，.这个结论，需要学生证明之后才能应用.教科书中限于篇幅，没有给出证明，由于角是任取的，根据其终边位置分类，至少要对8种情况进行证明，其严谨简洁的证明需要在解析几何中完成.因此，教科书的边空中只要求就图5.3-5所示的情况进行证明，这个问题简单易证.
教科书的处理方式既不失严谨性，让学生了解了这些结论的来源，又不至于喧宾夺主.教学时，按照教科书的处理方式，针对图5.3-5进行论证，并结合图形作直观分析即可.根据学生的实际，可以组织探究发现，也可以进行讲授.
“探究3”与前两个探究相比，采用的研究方法一样，对称轴也是特殊的
直线——y轴，其推导简单易行.不同之处在于，教科书中选择了点，而不是点，学生可能会感到突然.事实上，可以引导学生按照本节的方法，进行更一般的探索发现.探究1和探究2中对作了一次对称变换，对于探究3可以通过对作两次对称变换解决.通过对比发现，教科书中探究3所用的方法，体现了数学的简洁美.
经历这样开放的探究，也回答了教科书边空中提出的问题：角的终边首先关于直线作对称，再关于轴作对称，就得到角的终边；或者角的终边首先关于轴作对称，再关于直线作对称，也可以得到角的终边.这两种变换方式都是从轴对称的角度回答的.还可以从旋转对称的角度回答：角的终边旋转角，就得到角的终边.与教科书中的边空相呼应，为后续两角差的余弦公式的推导作铺垫.
（2）例题
此处安排了三道例题，分别是证明、化简、求值.如前所述，不论哪种类型的题目，都要注重数学运算素养的培养.在三道例题的求解过程中要进一步巩固和完善教科书中的流程图.特别是例5的分析，旨在引导学生形成代数问题的程序化思维，体现了转化的数学思想方法.因此，在教学中要注重通过一道题形成解决一类问题的思维方法，即通性通法，不要刻意追求特殊技巧.
6组诱导公式，都反映了三角函数本身的性质，也是研究三角函数图象与性质的基础.它们之间有着内在的联系，后续将进一步研究.

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