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5.4三角函数的图象与性质
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）；研究函数图象与性质的一般思路和方法.
难点：正弦函数的作图；周期函数、（最小正）周期的意义.
三、教科书编写意图及教学建议
教科书从定义出发引导学生提出研究函数的一般思路和方法，并结合三角函数的特性（周期性）简化对三角函数图象与性质的研究过程.
研究函数的思路一般有两种：一是根据定义画函数图象，再结合图象研究性质；二是根据定义推导性质，再由性质画图象.在具体实践中，往往需要将两者有机地结合起来.教科书先从正弦函数入手，根据正弦的定义，借助单位圆画出正弦曲线；再利用正弦函数与余弦函数的内在联系，通过图象的平移变换画出余弦曲线；最后借助几何直观和代数运算研究正弦函数和余弦函数的性质.对于正切函数，教科书换一个角度研究其性质与图象，让学生了解研究函数的不同思路.
教科书通过例题，运用正弦、余弦与正切函数的图象与性质对一些较简单具体的函数进行研究，渗透了函数图象的一些基本变换，利用转化与化归的思想方法讨论了一些形如的函数的基本性质.
本节的关键是从三角函数的定义出发，借助单位圆把握三角函数的图象和性质，既能在几何直观下研究三角函数的性质，也能通过三角函数的性质把握图象的特征.利用信息技术更快捷、更准确地作出函数图象，体现动态关联的变化过程，帮助学生更好地理解三角函数的图象与性质.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
图象是函数的直观表示，也是函数性质的集中体现.对于画正弦函数的图象，教科书突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点.教科书先从画图象上任意一点出发，明确作图的原理；再画出具有代表性的适当数量的点，初步感受图象的特点；最后利用信息技术画出足够多的点，得到对图象更直观的认识.这种方式使得学生更清楚知识的发生发展、归纳概括的过程.
1.正弦函数的图象
教科书一开始就提出问题：如何从定义出发研究这个三角函数？引导学生类比过去的学习经验，提出从定义出发画函数图象、再借助图象获得性质的研究思路.
对正弦函数图象的构造和认识过程是本节的一个重点，也是一个难点.教科书作了如下设计.
（1）突出正弦函数的周期性的特点
作为描述周期现象的重要函数模型，三角函数的周期性具有十分重要的地位和作用，它可以简化三角函数的作图过程，直观想象三角函数图象的整体图形特征.根据周期性，可以将实数集范围的作图问题归结为区间内的作图问题.
对于周期性，在此只针对正弦函数，可以通过圆周运动周而复始的直观形象和导公式的代数特征作感性认识，无需提出一般函数周期性的概念.
（2）画出正弦函数图象上的任意一点
图象上任意一点的作法，蕴含了函数图象整体的构成原理，教科书通过“思考”，明确借助单位圆画出正弦函数图象上任意一点的理论依据和实践操作.
描点法是画函数图象的基本方法，根据以往画函数图象的经验，自变量取值后常可借用计算器算出函数值，再在直角坐标系上描出相应的点进行连线，如此也能得到正弦曲线的大致形状.为什么还要从定义出发利用单位圆去作图呢？实际上，直接描点画图法不仅不够精确，它也剥离了函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系，使得函数图象徒有其“形”而少其“魂”，不利于知识的整体性与联系性，教学中应让学生体会到利用定义法作图的意义.
（3）选取上12个特殊的值进行描点
掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，是从感性认识的累积飞跃到理性认识不可缺少的步骤.这12个等分点的选取不仅操作简便，而且包含了函数中的零点和最值点以及一些常用的特殊角，有利于对图象特征的把握.获得以上具体经验后，学生可以初步想象图象的大致形状.
（4）借助信息技术描出任意多的点，并连续成线
利用信息技术的连续动画功能，可以得到更多的图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理.
（5）从区间到实数集的延伸
从区间的局部图象到实数集上的整体图象，是从有限到无限的推广过程.教科书设置“思考”，引导学生进行逻辑推理和直观想象.由公式一，函数，，且的图象与，的图象形状完全一致.因此将函数，的图象不断向左、向右平移个单位长度，就可以得到正弦函数，的图象.教学中可利用信息技术呈现整体图象的生成过程.
（6）五点（作图）法
对函数的研究，作出其简图往往起重要作用，因此有必要要求学生熟练掌握“五点法”作图.在讲解“五点法”时，教科书通过“思考”，引导学生观察图象中的关键点，进一步说明在掌握正弦曲线图形特征的基础上，只要一个周期中五个关键点确定好，图象就能基本确定.在精度要求不高的情况下，这样作图更方便、有效，实际上这也是在解决具体问题过程中，借助图象直观分析问题、得到解题思路的有效方法.
2.余弦函数的图象
正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，借助已知的正弦函数的图象来画余弦函数的图象，可以加强对两者联系性的认识，也较好地体现了化归思想.
为了给学生更大的探索空间，教科书通过一个“思考”和一个“探究”，引导学生探究正弦函数与余弦函数的联系，即.在此基础上，通过图象变换得到余弦曲线.
由于学生在二次函数学习中接触过图象的平移，在学习指数函数、对数函数的图象后也直观感受过图象平移，对于函数与图象之间的平移变换有一定的学习经验.教学时，教师还需引导学生发现图象平移的本质，即若点
在函数的图象上，则点一定在函数的图象上，反之也对.这说明函数的图象上的每一点都可以看作是函数的图象上相应的某个点向左平移个单位后得到的.借助信息技术，可以动态直观地呈现函数的图象上的每个点的生成过程.
在获得余弦曲线的图象后，教科书通过类比，要求学生把握余弦函数的图象特征，并用五点法进行作图.
3.例题
例1通过画两个简单函数的简图，加深对正弦曲线与余弦曲线图形特征的认识，熟练掌握五点作图法的操作步骤.通过“思考”，引导学生初步感知函数解析式的变换与图象变换之间的内在联系，为后续的三角函数的图象变换作铺垫.
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学生对函数性质的研究已有比较丰富的经验，借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法.教科书通过“探究”，引导学生明确函数性质的研究内容，选择适当的研究方法.
在三角函数的性质中，周期性是最特别和最重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，因此教科书将周期性的研究放在了首位.另外奇偶性也可起到简化研究函数性质的作用，同时周期性和奇偶性的综合可以加深对正弦曲线和余弦曲线的对称性的认识，因此教科书首先安排了这两个性质.
单调性是函数的重要性质，利用三角函数的周期性，可以先从一个周期入手研究它的单调性.函数的最值是利用单调性推出的一个自然结果.上述所有性质也可以借助单位圆进行直观想象，多角度的联系有助于对知识的理解和掌握
1.周期性
教科书首先从观察正弦曲线入手，发现图象每隔个单位长度就会重复出现；再引导学生借助单位圆，从定义来说明，或从公式一入手进行分析，从函数解析式发现它的性质.在多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理的素养.
获得正弦函数的周期性后，可类比得到余弦函数的周期性，从中归纳出一般函数周期性的定义.在学习周期函数的概念时，要强调以下几点：
（1）对周期函数定义的理解
教科书对周期函数的定义为“存在一个非零常数，使得每一个都有，且”.对于这个定义，不仅要抓住关系式的代数特征和几何含义，还要特别关注“存在”和“每一个”的含义.理解定义时，可以通过具体例子进行正面解释，也可以从定义的反面入手.
在已知（已得出）函数是周期函数的前提下，对于“一个数为函数的周期”的反面理解，只要函数定义域中有一个值，使得，则就不是函数的周期.例如，对于，我们在得到它是以为周期的周期函数后，一个自然的问题是：还有没有其他的数是正弦函数的周期？如是否也是它的周期？可以得到，虽然对于常数，对自变量取时都有，但并非“每一个值”都成立，如自变量取时就有
，因此，不是正弦函数的周期.
对于“为周期函数”的反面理解，即为“任意一个非零常数，都不能使得恒成立”，换种说法：若对任意一个非零常数，在函数定义域中总能找到某个值，使得，则不是周期函数.这涉及对两个量词“任意”和“存在”的否定，在教学中要注意把握.
从周期函数的定义可以得到，周期可以是正数，也可以是负数，若是周期函数定义域中的任意一个实数，则也必须在函数的定义域中，可以推出的定义域一定既无上界也无下界.
（2）周期的不唯一性
如都是正弦函数的周期，这不仅可以从图象上观察得到，也可以利用公式一进行代数论证.对于一般的周期函数，如果是的一个周期，则对定义域内的每一个，都有，于是
.所以也是的周期.同理可证，，，…都是它的周期.事实上都是它的周期.我们还可以得到，也都是它的周期.
（3）最小正周期
最小正周期是最具代表性的一个周期，但它不一定存在.例如常函数（为常数），所有非零常数都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中并不存在最小的正数，所以常函数并不存在最小正周期.又如函数
任何一个非零有理数都是它的周期，但它也没有最小正周期.
下面证明是正弦函数的最小正周期.
由于易证明是正弦函数的一个周期，下面只需证任何一个小于的正数都不是正弦函数的周期.
假设是正弦函数的周期，且.根据周期的定义，对任意的一个实数，都有.令，则，所以.
但当时，与矛盾.所以假设不成立，即在区间内不存在正弦函数的周期，所以，是正弦函数的最小正周期.
如果不特别说明，那么教科书中的周期一般指最小正周期.本章教学的重点是三角函数的周期性，对一般函数的周期性研究要适度.
（4）函数的周期
教科书首先通过例2，研究形如的一些具体函数的周期，使学生掌握变量代换的方法，将的周期化归为函数的周期，进一步加深理解函数的周期的定义；再通过“思考”，归纳猜想形如的函数的周期只与的系数有关系，为后续对函数及其周期的“探究与发现”作好铺垫.这里不要求学生必须探究出一般形式的函数
的周期与之间的确切关系.
2.奇偶性
函数的奇偶性的学习，可以通过直接观察图象的对称性得到，也可根据诱导公式通过逻辑推理得出.
值得注意的是，由三角函数的周期性所产生的三角函数的丰富性质，实际上也是单位圆的丰富对称性（关于任意一条直径对称、关于圆心对称等）的解析表示.教学中可以鼓励学生将其拓展到对一般对称性的探究.
教科书引导学生思考函数的周期性和奇偶性对研究函数图象和性质的作用，为今后通过性质研究函数图象的思路作铺垫.
关于周期性与奇偶性的结合对正弦曲线、余弦曲线的对称性的影响，教学中要适时关注，可以引导学生在课外进行专题拓展探究.
3.单调性和最值
函数的单调性是函数的重要性质.由于三角函数的周期性，其单调性也与以前所学函数的单调性有较大的差异，学习中特别要注意图形的直观想象和对单调区间的归纳概括的过程.由于正弦函数与余弦函数的单调性研究过程相似，教学时应把重点放在正弦函数上，学生可以通过类比学习余弦函数的性质.
教科书通过对正弦函数的图象的观察分析，确定正弦函数在一个周期内的单调性和单调区间.教学中可以让学生继续分析其他周期上的单调区间及单调性，在此基础上归纳概括出所有单调区间的一般形式，体会研究周期函数单调性的一般思路，即先选择一个周期（如），写出这一周期上的单调区间，再利用周期性在区间两端加上周期的整数倍得到整个定义域上单调区间的一般形式.
对于单调性只需直观判断（无需证明），类比正弦函数的单调性，可以让学生自主研究余弦函数的单调性.
正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为函数单调性和有界性的一个自然结果，由学生自己研究获得.
教科书在最后设置了选学内容“探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”，这是对利用函数图象研究函数性质的方法的补充，同时也为后续利用单位圆推导三角公式作铺垫，也突出了单位圆在研究三角函数中的重要价值.
4.例题
（1）例2以形如和的具体函数为例研究函数的周期，使学生学会从和的周期出发，借助变量代换求解稍复杂的函数的周期，也为后面对函数的研究作铺垫.
（2）例2后的“探究与发现”则是对例2的推广，从具体的例子出发，分级递进地进行抽象，先从具体函数抽象为一般的函数，研究其周期性，再从这些特殊类型的函数抽象为一般的周期函数进行研究.
一般地，若是以为周期的函数，则对于函数，若设
，必有
，即.因此函数（即）是以为周期的函数.
（3）例3求解的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.对于形如
的函数，一般通过变量代换化归为的形式，然后进行求解.这种通过变量代换实现化归的思想方法也适用于研究此类函数的其他性质.解题过程中，要注意参数的正负对结果的影响.
（4）例4是利用正弦函数和余弦函数的单调性比较两个函数值的大小.解决此类问题的关键是构造适当的函数，并利用诱导公式将它们转化到函数的同一个单调区间上进行研究.也可借助单位圆，利用三角函数值对应坐标的几何意义进行直观比较，本例有助于学生加强知识间的联系，理解定义的核心作用.
（5）例5主要通过化归并利用正弦函数的单调性进行求解.由于本题规定了自变量的取值区间，通过变量代换，可等价转化为在相应区间上的单调性问题，再借助正弦函数在相应区间上的图象直观判断获得结论.其后的“思考”主要是为了使学生对于复合函数的单调性问题有一个完整的认识，分析的思路是一致的.
令，，则，.由于是的减函数，要使增加时也增加，则只有减小时增加，因此，的减区间才对应原函数的增区间.
因为，的单调递减区间是，，且由，或，得，或.所以，函数，的单调递增区间是和.
5.4.3正切函数的性质与图象
通过前面的学习，学生对研究三角函数的性质有了一定的经验积累，教科书一开始设置“思考”，用两个问题引导学生对函数性质的研究经验进行概括总结，并尝试用不同的方法进行创造性的实践.
归纳起来可以有两种思路：一是先根据三角函数的定义，借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；二是以定义为出发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助图象的观察进一步获得函数的其他性质.了解这些思路可以更有效地研究函数的图象与性质，全面深人地理解数形结合的思想.
由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，对正切函数图象与正切定义之间的内在联系在理解上有一定的难度.为突破这一难点，教科书采用了第二种思路.对于正切函数的性质和图象，教科书呈现了如下的研究过程.
1.从研究周期性和奇偶性入手
根据诱导公式，先从代数角度获得正切函数的周期性和奇偶性，然后根据周期性和奇偶性，将正切函数在整个定义域的图象和性质问题归结为区间上的图象与性质.
2.函数，的图象
教科书借助单位圆，寻求时正切值的几何意义（即正切线），再在区间上取点（如将区间6等分，得到自变量的取值为0，，，，，）从而画出正切函数图象上相应的特殊点，并用光滑曲线进行连接.教学时，应注意引导学生分析自变量从0趋向于时，正切值的变化趋势，从而准确把握正切函数图象的形状特征.
3.利用奇偶性和周期性画出正切曲线
从区间上的局部图象，拓展到整个定义域上的图象，既需要函数周期性和奇偶性的代数推理，也需要对图形特征的直观想象.
利用正切的几何意义画图，可以强化几何直观，突显正切函数的定义与函数图象之间的内在联系.这里只需借助坐标的几何意义，无需明确提出正切线的概念.
正切函数的图象被与轴平行的一系列直线，所隔开并无限逼近，关于这一事实，学生在认识上可能有困难.因此，教学时需紧紧围绕正切的定义并借助信息技术进行直观而细致的分析：首先是理解正切的定义域
对于图象的几何意义；然后借助信息技术从几何直观、数值变化等多角度感受在区间上，当时，的事实.
4.单调性
在观察图象的基础上，让学生自己归纳概括出正切函数单调区间的一般形式，并写出函数的值域.
5.应用
例6研究了形如的具体函数的定义域、周期及单调性等性质，采用变量代换（令）的方法可以将函数的性质转化为正切函数的性质处理.

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