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2022年梧州市数学中考真题名师详解版
说明：1．本试卷共6页（试题卷4页，各题卡2页），满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 的绝对值是 B. 对顶角相等
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 如果直线，那么直线
4. 一元二次方程的根的情况（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数 C. 众数 D. 中位数但不是平均数
8. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A. 60° B. 62° C. 72° D. 73°
11. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
12. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）
A. B. 若实数，则
C. D. 当时，
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若，则________．
14. 在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标________．
15. 一元二次方程的根是_________．
16. 如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
18. 如图，四边形是的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交于点E，F．若，则，所围成的阴影部分面积为_______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
19. （1）计算：
（2）化简：．
20. 解方程：
21. 如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．
22. 某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．
（1）本次抽样调查的学生人数共_______人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
23. 今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，， ，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，）
24. 梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
26. 如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．
（1）求证：①；
②CD是的切线．
（2）求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1.【答案】A
【解析】
解：∵，
∴的倒数是，
则选：A．
2.【答案】A
【解析】
解：选项A：圆柱的主视图为矩形；
选项B：球的主视图为圆；
选项C：圆锥的主视图为三角形；
选项D：四面体的主视图为三角形；
则选：A．
3.【答案】A
【解析】
解：A． 的绝对值是2，则原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，则原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，则原命题是真命题，不符合题意；
D． 如果直线，那么直线，则原命题真命题，不符合题意；
则选：A．
4.【答案】B
【解析】
解：由题意可知：，
∴，
∴方程由两个不相等的实数根，
则选：B．
5.【答案】C
【解析】
解：不等式组的解集为：，其在数轴上的表示如选项C所示，
则选C．
6.【答案】C
【解析】
解：∵是的角平分线，
∴，
∴，则选项A、D结论正确，不符合题意；
又是的角平分线，，
∴，则选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出，则选项C结论错误，符合题意；
则选：C．
7.【答案】B
【解析】
解：∵，
∴这组数据的平均数为6，
∵这组数据从小到大排列，处在最中间的数据是6，
∴这组数据的中位数是6；
∵这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3，
则选B．
8.【答案】D
【解析】
解：A．，计算正确，但不符合题意；
B．，计算正确，但不符合题意；
C．，计算正确，但不符合题意；
D．，计算错误，符合题意；
则选：D．
9.【答案】B
【解析】
解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．
则选：B．
10.【答案】C
【解析】
解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
则选：C．
11.【答案】D
【解析】
解：由题意可知，四边形与四边形相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，
又四边形的面积是2，
∴四边形的面积为18，
则选：D．
12.【答案】C
【解析】
解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，则A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，，
∴当实数，则，
∴当实数时，，则B说法正确，不符合题意；
∵当时，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，则C说法错误，符合题意；
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，则D说法正确，不符合题意；
则选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13.【答案】1
【解析】
解：∵，
∴，
则答案为：．
14.【答案】（0，0）（答案不唯一）
【解析】
解：当x=0时，y=0，
∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
则答案为：（0，0）（答案不唯一）．
15.【答案】或
【解析】
解：由题意可知：或，
∴或，
则答案为：或．
16.【答案】4
【解析】
解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∴，
则答案为：4．
17.【答案】-2＜x＜0或x＞4
【解析】
解：∵反比例函数的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴，
又反比例函数的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．
则答案为：-2＜x＜0或x＞4．
18.【答案】
【解析】
解：连接EO、DO，设EF与AO交于点H，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，
∴EA=EO，
又EO=AO，
∴△EAO为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴，
∴，
∴，
则答案为：．
19.【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）解：原式=
=
=
=；
（2）原式=
=．
20.【答案】
【解析】
解：方程两边同时乘以得到：，
解出：，
当时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：．
21.【答案】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
22.【答案】（1）50 （2）补图见解析
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：由题意知，调查的总人数为人，
则答案为：50．
【小问2详解】
解：由图可得，滑冰的人数为人，
∴补图如下：
【小问3详解】
解：由题意知，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为．
23.【答案】984 m
【解析】
解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC=，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD=，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴，
解得，
答：AB的高度约为984m．
24.【答案】（1）龙眼干的售价应不低于36元/kg
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
则龙眼干的售价应不低于36元/kg．
【小问2详解】
解：千克的新鲜龙眼一共可以加工成千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为元，
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴，解出元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴，
∴龙眼干的销售总收益为，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
元，
则与的函数关系式为．
25.【答案】（1）
（2）①点E在抛物线上；②（0，）
【解析】
【小问1详解】
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，
又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时，取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为，
又E（6，0），
∴，
∴，
∴直线EP解析式为，
当x=0时，y=，
∴点P坐标为（0，）．
26.【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
证明：①∵，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线．
【小问2详解】
解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：
∵且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知：，
∴，
∵CE∥DB，
∴，
∴，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x，，
由勾股定理知：，
在Rt△MBD中由等面积法知：，
代入数据得到：，解得，
在Rt△DGB中由勾股定理可知：，
又且其相似比为，
∴，
在Rt△BFG中由勾股定理可知：，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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