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极值点偏移专题
1、极值点偏移
以函数函数为例，极值点为0，如果直线与它的图像相交，交点的横坐标为和，我们简单计算：.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.
当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.
那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是：
2、主元法破解极值点偏移问题
所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
例1.已知函数有两个零点.
(I)求的取值范围；
(II)设是的两个零点，证明.
变式、已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明．
通法提炼
一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是：
第一步：根据建立等量关系，并结合的单调性，确定的取值范围；
第二步：不妨设，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化．
第三步：构造关于（或）的一元函数，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
3、极值点偏移问题的不等式解法
（1）我们熟知平均值不等式：
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”
等号成立的条件是.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：
那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
，
以下简单给出证明：
不妨设，设，则原不等式变为：
那么例2还可以如下解答：
变式1 已知函数.
(I)讨论的单调性；
（II）设a＞0，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.
变式2. 已知函数 .
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，.
（Ⅲ）如果，且. 证明：.
变式2.
小试身手
（1）主元法破解极值点偏移问题：(2) 极值点偏移问题的不等式解法.
1. 设函数，其图象与轴交于，两点，且．
(1)求的取值范围；
(2)证明：（为函数的导函数）；
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．
已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
4.函数与直线交于，证明：.
5 已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 .
A. B. C. D.有极小值点，且
设函数 ，其图象与轴交于两点，且.
证明：（为函数的导函数）.
7.已知函数与直线交于两点.
求证：极值点偏移专题
1、极值点偏移
以函数函数为例，极值点为0，如果直线与它的图像相交，交点的横坐标为和，我们简单计算：.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.
当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.
那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是：
2、主元法破解极值点偏移问题
所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
例1.已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围；
(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.
(1)解析：
详细解答⑴方法一：由已知得：
①若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②若，那么，所以当时，，单调递增
当时，，单调递减，即：
↓ 极小值 ↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，， ，因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③ 若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：
+ 0 - 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
而极大值
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点，此时在上至多一个零点，不合题意．
④ 若，那么
当时，，，即，单调递增
当时，，，即，单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤ 若，则
当时，，，即，单调递增
当时，，，即，单调递减
当时，，，即，单调递增，即：
+ 0 - 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点，此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
简要解析（Ⅰ）方法二：．
（i）设,则,只有一个零点．
（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点．
（iii）设,由得或．
若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．
⑵ 方法一：由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则，那么，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
(2)方法二：不妨设，由（1）知，，在上单调递减，
所以等价于，即．
由于，而，
所以．
令，则，
所以当时，，而，
故当时，．从而，故．
(二)对解析的分析
本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是，借助于函数的特性及其单调性，构造以为主元的函数．由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为，同理构造以为主元的函数来处理．此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法．
不妨设，由（1）知，，在上单调递增，所以等价于，即．
令，则
，
所以，即，
所以；
所以，即.
变式、已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明．
解：（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分
（Ⅰ）解：f′，令f′(x)=0,解得x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
X () 1 ()
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
(1)在上是增函数，在上是减函数，；
(3)证明：，，亦即，且，
欲证明，即，只需证，即．
令，则，
因为，所以在上单调递增，
故，得证．
（三）通法提炼
一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是：
第一步：根据建立等量关系，并结合的单调性，确定的取值范围；
第二步：不妨设，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化．
第三步：构造关于（或）的一元函数，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
例2.
21．解：(Ⅰ)， ……………………………………1分
①m≤0时，>0，在上单调递增，不可能有两个零点．
…………………………………………………………2分
②m>0 时，由可解得，由可解得，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
于是min==， ……………………………………4分
要使得在上有两个零点，
则<0，解得，
即m的取值范围为． ………………………………………………5分
(Ⅱ)令，则，
由题意知方程=0有两个根t1，t2，
即方程有两个根t1，t2，不妨设t1=，t2=．
令，则，
由可得，由可得，
∴ 时，单调递增，时，单调递减．
故结合已知有 t1>>t2>0． ……………………………………………………8分
要证，即证，即．
即证． …………………………………………………………9分
令，
下面证对任意的恒成立．
．………………………10分
∵ ， ∴ ，
∴ =．
∵ <，∴ >0，
∴ 在是增函数，
∴ <=0，∴ 原不等式成立．………………………………………12分
3、极值点偏移问题的不等式解法
（1）我们熟知平均值不等式：
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”
等号成立的条件是.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：
那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
，
以下简单给出证明：
不妨设，设，则原不等式变为：
那么例2还可以如下解答：
用极值点偏移问题的不等式解法
变式1已知函数.
(I)讨论的单调性；
（II）设a＞0，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设，，，则，
①
②
①-②得：，化简得：
③
而根据对数平均值不等式：
③等式代换到上述不等式
④
根据：（由③得出）∴④式变为：
∵，∴，∴在函数单减区间中，即：
6. 已知函数 .
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，.
（Ⅲ）如果，且. 证明：.
（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分
（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
X () 1 ()
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设，则，，两边取对数
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式
变式1.
(三)通性通法的感悟
极值点偏移问题在高考中几乎年年可见，深受高考命题专家的青睐，年年岁岁意相似，岁岁年年题不同，属于高考高频题型．对于此类问题的研究，多位方家已经作了探讨．
文1]从高等数学的视角阐述了问题的背景，指明并提炼出极值点偏移问题的解题策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与，比较与的大小，即比较与的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩，但是，此解法并不利于学生思维的提升，比较突兀，有“模式化”的曲高和寡之嫌疑，显然不是自然的想法，“想说爱你不容易．”教师的自然想法却让学生屡屡想不到、想不通、学不会，加重其自卑感；顺应学生的思维，才能对接学生的认知，贴近学生“最近发展区”，化用于无痕，活用于无间，妙用于无限，神用于无形，走有限之路，饮不竭之泉．
文2]结合文1]的四个例题验证了转化为对数平均的求解的可行性，提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解．这种解题策略，师生都感到运算量繁杂，有一定的技巧要求，而且对数平均数的不等式链也有超纲的嫌疑，在解答过程中存在能否直接运用的疑问4]，“想你，但，我不会爱你！”
其实，解决极值点偏移问题的上两种方法，实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数，因此，主元法才是破解极值点偏移问题的通法，亲切自然，美感灵气．这一点也可以从官方答案得到印证．对于官方提供的参考答案，是命题专家经过反复考量的，承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，体现着高考改革的发展趋向，同时也蕴含着命题者解题的思维历程，蕴含着其问题的本质．我们多一份敬畏，将参考答案激活，用“冰冷的美丽”促进学生“火热的思考”，多一份收获.
练习
（1）主元法破解极值点偏移问题
(2) 极值点偏移问题的不等式解法
1.设函数，其图象与轴交于，两点，且．
(1)求的取值范围；
(2)证明：（为函数的导函数）；
解：(1)，且，在上单调递减，在上单调递增；
(2)要证明，只需证，即，
因为单调递增，所以只需证，亦即，
只要证明即可；
令，则
，
所以在上单调递减，，得证．
2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．
解：（1）若，在上单调增加；若，在上单调递增，在上单调递减；
（2）（略）
（3）由（1）可得，在上单调递减，，
不妨设，则，
欲证明，即，只需证明，即，
只需证明．
由（2）得，得证．
3.已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
解： (1) 在上单调递增，在上单调递减；
(2)由(1)知当时，．
不妨设，因为，即，则，
要证明，即，只需证明，即．
而等价于，
令，则，
令，则，
所以单调递减，，即，所以单调递减，
所以，得证．
对文献3]的例1，朱老师提供了3种方法，笔者也可运用主元法顺利破解，请看以下解析，岂不更为简捷？
4.函数与直线交于，证明：.
解：函数，，则在上单调递减，在上单调递增，且；
（1）若，要证明，即，只需证明，即．
令，则在上单调递增，
故；
若，同理可证，得证．
5已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 .
A. B. C. D.有极小值点，且
【答案】C
【解析】函数导函数：
有极值点，而极值，，A正确.
有两个零点：，，即：
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式：
，而， B正确，C错误
而①+②得：，即D成立.
6.设函数 ，其图象与轴交于两点，且.
证明：（为函数的导函数）.
【解析】根据题意：，移项取对数得：
①
②
①-②得：，即：
根据对数平均值不等式：
，①+②得：
根据均值不等式：
∵函数在单调递减
∴
7.已知函数与直线交于两点.
求证：
【解析】由，，可得：
①，②
①-②得：
③
①+②得：
④
根据对数平均值不等式
利用③④式可得：
由题于与交于不同两点，易得出则
∴上式简化为:
∴
六、质疑
文1]中提到“利用极值点对折，构造一元差函数的解题策略”是极值点偏移问题的本质之所在．文2]中又称“极值点偏移问题的另一本质回归—对数平均．”到底哪一种方法是极值点偏移问题的本质？极值点偏移问题的本质可否有多种？某一种解题策略是否为此类问题的本质又如何判断？有待于大家探讨．

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