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2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.
1．下列实数是无理数的是（　　）
A．（π﹣1）0 B． C．5 D．3.14
2．下列交通指示标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD
4．已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
5．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．如图，长方形ABCD中，CD＝2，AD＝1，CD在数轴上，点D表示数1，以点D为圆心，对角线DB长为半径画弧交数轴于点E，则数轴上点E表示的数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′的度数是（　　）
A．40° B．35° C．50° D．20°
8．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 　 　．
10．满足﹣＜x＜的所有整数x的和是 　 　．
11．已知，则xy＝　 　．
12．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、，则正方形D的面积为 　 　．
13．如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　 　．
14．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d＝，其中R是地球半径（通常取6400km），小明站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，他观测远处一艘船刚露出海平面，则此时d的值为 　 　．
15．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．则重叠部分△DEF的面积为 　 　cm2．
16．有两根木条，长分别为3cm和4cm，现将这两根木条作两边，再截一根木条作第三边围成一个钝角三角形，则第三根木条长度的取值范围是 　 　cm．
三、解答题：本大题共11小题，共82分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
17．计算：．
18．求下列各式中的x：
（1）；
（2）（2x+1）2＝9．
19．已知一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2．
求：（1）a，b的值；
（2）a与b和的平方根．
20．如图，在8×8的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线a对称；
（2）画出△CAD，使△CAD三边长分别为2，，（画出一个即可）；
（3）延长BC交直线a于E，若△BEF是以BE为底边的等腰三角形，那么这样的格点F共有 　 　个．
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝110°，∠C＝40°，求∠AEB的度数．
22．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．
求证：（1）△ABD≌△ECB；
（2）∠DBC＝2∠DCE．
24．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
25．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；
②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1）＝　 　；
（2）若，则x＝　 　；
已知，且与互为相反数，求x，y的值．
26．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”）．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，则S2＝　 　．
27．如图1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．
【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；
【深步探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D．当点P运动到PD⊥CQ时，若，求PB的长；
【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，则CD长为 　 　．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.
1．下列实数是无理数的是（　　）
A．（π﹣1）0 B． C．5 D．3.14
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：A．（π﹣1）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下列交通指示标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的概念得出结论即可．
解：由题意知，ABC选项都是轴对称图形，D选项不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键．
3．如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD
【分析】利用AB＝AC，加上∠A为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加∠B＝∠C时，△ABE≌△ACD（ASA）；
当添加BE＝CD时，不能判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS）；
当添加AE＝AD时，△ABE≌△ACD（SAS）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
4．已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【分析】分两种情况：当腰长为5时，当底边长为5时，分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．如图，长方形ABCD中，CD＝2，AD＝1，CD在数轴上，点D表示数1，以点D为圆心，对角线DB长为半径画弧交数轴于点E，则数轴上点E表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理计算出BD的长，进而得到DE的长，再根据D点表示1，可得点E表示的实数．
解：∵CD＝2，AD＝1，
∴BD＝＝，
∵D点表示1，
∴点E表示的实数是1﹣，
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′的度数是（　　）
A．40° B．35° C．50° D．20°
【分析】根据平行线的性质得到∠BAA′＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
解：∵AA′∥BC，
∴∠BAA′＝∠ABC＝70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝70°，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝70°，
∴∠A′BA＝40°，
∴∠ABC′＝30°，
∴∠CBC′＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
8．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，证明AD垂直平分BE，再由∠AFB＝∠BFD＝90°，AF＝4，AB＝5，根据勾股定理求得EF＝BF＝＝3，再由DG＝EG，得S△ADG＝S△AEG＝，则S△ADE＝，即可列面积等式×3AD＝，求得D＝5，则DF＝1，再根据勾股定理求得BD＝＝，于是得到问题的答案．
解：∵△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，
∴AD垂直平分BE，
∴∠AFB＝∠BFD＝90°，AF＝4，AB＝5，
∴EF＝BF＝＝＝3，
∵DG＝EG，S△AEG＝，
∴S△ADG＝S△AEG＝，
∴S△ADE＝S△AEG+S△ADG＝+＝，
∴×3AD＝，
∴AD＝5，
∴DF＝AD﹣AF＝1，
∴BD＝＝＝，
∴BD的长是，
故选：B．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求理EF＝BF＝3，再列面积等式求得AD＝5是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 　3.89　．
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
解：3.886≈3.89（精确到0.01）．
故答案为3.89．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
10．满足﹣＜x＜的所有整数x的和是 　2　．
【分析】估算﹣或的大小，进而确定满足﹣＜x＜的所有整数，再求和即可．
解：∵﹣2，
∴满足﹣＜x＜的所有整数有：﹣1、0、1、2，其和为：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查无理数估算，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．
11．已知，则xy＝　﹣2　．
【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：∵，而（x﹣y+3）≥0，，
∴，
解得，
∴xy＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、，则正方形D的面积为 　23　．
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4+9＝x﹣10，求出即可．
解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、，
∴正方形的面积分别为4、9、10，
根据图形得：4+9＝x﹣10，
解得：x＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．
13．如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　74°　．
【分析】由圆周角定理，即可求解．
解：连接DC，
∵DE和DF分别垂直平分AB、AC，
∴点D是△ABC的外心，DB＝CD，
∴∠A＝∠BDC，∠DBC＝∠DCB，
∵∠DBC＝16°，
∴∠BDC＝148°，
∴∠A＝×148°＝74°．
故答案为：74°．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是明白点D是△ABC外接圆的圆心．
14．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d＝，其中R是地球半径（通常取6400km），小明站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，他观测远处一艘船刚露出海平面，则此时d的值为 　16km　．
【分析】根据d＝，将R＝6400km，h＝0.02km代入计算即可．
解：由题意h＝20m＝0.02km，R＝6400km，
则d＝
＝
＝×
＝0.2×80
＝16（km）．
故答案为：16km．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入计算是解题关键．
15．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．则重叠部分△DEF的面积为 　　cm2．
【分析】由矩形的性质得AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，再由折叠的性质得MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，设AE＝xcm，则ME＝xcm，DE＝（4﹣x）cm，然后在Rt△MDE中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出DE的长，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2cm，BC＝4cm，
∴AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，
由折叠的性质得：MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，
设AE＝xcm，则ME＝xcm，DE＝（4﹣x）cm，
在Rt△MDE中，由勾股定理得：ME2+MD2＝ED2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝（cm），
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣＝（cm），
∴△DEF的面积＝DE CD＝××2＝（cm2），
故答案为：．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16．有两根木条，长分别为3cm和4cm，现将这两根木条作两边，再截一根木条作第三边围成一个钝角三角形，则第三根木条长度的取值范围是 　5＜x＜7或1＜x＜　cm．
【分析】已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．注意本题做一个钝角三角形的要求．
解：设第三根木条长度为xcm．
∵＝5（cm），＝（cm），且3+4＝7（cm），4﹣3＝1（cm），
∴再截一根木条做一个钝角三角形，第三根木条x长度的取值范围5＜x＜7或1＜x＜．
故答案为：5＜x＜7或1＜x＜．
【点评】本题考查了三角形三边关系，本题需要理解的由勾股定理，根据已知的两条边求第三边的范围．
三、解答题：本大题共11小题，共82分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
17．计算：．
【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝4﹣2+（﹣3）
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．求下列各式中的x：
（1）；
（2）（2x+1）2＝9．
【分析】（1）根据立方根的定义得出x﹣1＝﹣2，然后求解即可得出答案；
（2）根据平方根的定义得出2x+1＝3或2x+1＝﹣3，然后求解即可得出答案．
解：（1）（x﹣1）3＝﹣4，
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2，
x＝﹣1；
（2）（2x+1）2＝9，
2x+1＝±3，
2x+1＝3或2x+1＝﹣3，
x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
19．已知一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2．
求：（1）a，b的值；
（2）a与b和的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列出算式，求出a的值，再根据另一个实数b的立方根是2，求出b即可；
（2）先求出a+b的值，再根据平方根的定义即可得出答案．
解：（1）∵一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，
∴2a﹣5+2a+1＝0，b＝8，
解得：a＝1．
则a的值是1，b的值是8；
（2）根据题意得：
a+b＝1+8＝9，
则a与b和的平方根是±3．
【点评】此题考查了平方根和立方根，关键是能准确理解并运用平方根和立方根的概念．
20．如图，在8×8的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线a对称；
（2）画出△CAD，使△CAD三边长分别为2，，（画出一个即可）；
（3）延长BC交直线a于E，若△BEF是以BE为底边的等腰三角形，那么这样的格点F共有 　3　个．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可；
（3）满足条件的点在线段BE的垂直平分线上，作出点F即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△ACD即为所求；
（3）满足条件的点F有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝110°，∠C＝40°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角定义即可求出∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝110°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝ABC＝15°，
∴∠AEB＝∠EBC+∠C＝15°+40°＝55°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
22．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．
【分析】可以设AE＝x，则BE＝50﹣x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE＝DE可以求得x的值，即可求得AE的值．
解：△DEC是等腰直角三角形，
理由：设AE＝x，则BE＝50﹣x，
在直角△ADE中，DE2＝302+x2，
在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，
解得x＝20km，
即AE＝20km．
答：市场E应建在离A点20km的位置，
∵AE＝20km＝CB，AD＝30km＝BE＝50﹣20＝30（km），∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴DE＝CE，∠AED＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE2＝302+x2和CE2＝202+（50﹣x）2求x的值是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．
求证：（1）△ABD≌△ECB；
（2）∠DBC＝2∠DCE．
【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC＝BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB＝∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．
（2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC．
∵CE⊥BD，∠A＝90°，
∴∠A＝∠CEB，
在△ABD和△ECB中，
∵∠A＝∠CEB，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠BCE，
又∵BC＝BD
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）∵BC＝BD，
∴∠EDC＝（180°﹣∠DBC），
又∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣（180°﹣∠DBC）＝，
∴∠DBC＝2∠DCE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．
24．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
【分析】（1）过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答；
（2）根据△PMN的面积是16，可求出PD＝4，从而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC＝PD，
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∴PC＝PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）∵△PMN的面积是16，MN＝8，
∴MN PD＝16，
∴×8 PD＝16，
∴PD＝4，
∴PD＝PC＝PE＝4，
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40，
∴△POM的面积+△PON的面积＝40，
∴OM PC+ON PE＝40，
∴OM 4+ON 4＝40，
∴OM+ON＝20，
∴线段OM与ON的长度之和为20．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；
②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1）＝　﹣49　；
（2）若，则x＝　3　；
已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【分析】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可；
（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由+2＝x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．
解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000，
∴是两位数．
∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；的个位数字是9．
∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4，
∴117649的立方根是49，．
∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，
∴＝﹣49．
故答案为：﹣49；
（2）∵+＝0，
∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3．
∵+2＝x，
∴∵＝x﹣2，
∴x﹣2＝0，解得x＝2；
∵与互为相反数，
∴3y﹣1＝2x﹣1，即3y﹣1＝3，解得y＝．
故答案为：3；x＝2，y＝．
【点评】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．
26．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”）．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，则S2＝　5　．
【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根据S1+2S2+S3＝20，即可得出S2的值．
解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，
大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，
化简可得，a2+b2＝c2；
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，则AB＝6﹣x，
依题意得：
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
∴该“勾股风车”图案的面积为：×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
答：该“勾股风车”图案的面积为24；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则
S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，
两式相加，可得2S2＝S1+S3，
又∵S1+2S2+S3＝20，
∴4S2＝20，
∴S2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理的证明以及正方形的性质，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用S1，S3表示出S2，再利用S1+2S2+S3＝20求出是解决问题的关键．
27．如图1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．
【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；
【深步探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D．当点P运动到PD⊥CQ时，若，求PB的长；
【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，则CD长为 　　．
【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ；
（2）连接PQ，BQ，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，可得△CPQ是等边三角形，根据PD⊥CQ，可知DP是CQ的垂直平分线，BC＝BQ，证明△ACP≌△BCQ（SAS），得AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，即得AC＝BC＝BQ＝AP＝，可得CP＝＝2，在Rt△CDP中，CD＝CP＝1，PD＝CD＝，由∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，可得∠CBD＝45°＝∠BCQ，故BD＝CD＝1，从而PB＝PD﹣BD＝﹣1；
（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE，由△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，可得CE＝AC＝，∠ACE＝45°，又∠ACB＝45°，知∠BCE＝90°，BE＝＝，证明△ABE≌△ADC（SAS），即得BE＝CD＝．
解：（1）AP＝BQ，理由如下：
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）连接PQ，BQ，如图：
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∵PD⊥CQ，
∴CD＝DQ，
∴DP是CQ的垂直平分线，
∴BC＝BQ，
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∵CP＝CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∴AC＝BC＝BQ＝AP＝，
∵∠CAP＝90°，
∴CP＝＝2，
在Rt△CDP中，∠CPD＝90°﹣∠PCQ＝30°，
∴CD＝CP＝1，PD＝CD＝，
∵∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，
∴∠BCQ＝45°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝45°＝∠BCQ，
∴BD＝CD＝1，
∴PB＝PD﹣BD＝﹣1；
（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE，如图：
∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，
∴CE＝AC＝，∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∵AB＝AD，AE＝AC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∴CD＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．

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