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13.3.2 等边三角形
13.3.2 等边三角形
R·八年级上册
第十三章 轴对称
目录
01
02
03
04
05
复习导入
探索新知
巩固练习
课堂小结
作业布置
复习导入
等腰三角形的判定方法是什么？
等腰三角形的性质是什么？
在等腰三角形中，如果底边等于腰长，那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？
探索新知
知识点1 等边三角形的性质
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？　　
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一）
一条对称轴
等边 三角形 三边相等 （定义）
三角都相等
每个角都等于60°
是（三线合一）三条对称轴
探索新知
知识点1等边三角形的性质
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？　　
由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
怎么证明这些结论呢？
探索新知
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　BC =AC，BC =AB．
∴　∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴　∠A =∠B =∠C ．
∵　∠A +∠B +∠C =180°，
∴　∠A =60°．
∴　∠A =∠B =∠C =60°．
　　已知：△ABC 是等边三角形，求证：∠A =∠B =∠C=60°．
A
B
C
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
　等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
　等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形．
　　 判定等边三角形的方法：
　　从边的角度：等边三角形的定义；
　　从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
探索新知
　证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
　　 例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
探索新知
　证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
　　变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
探索新知
　　变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠D =∠E．
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
探索新知
将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
知识点3 直角三角形的性质
探索新知
A
B
C
D
证明：在△ABC 中，
∵　∠C =90°，∠A =30°，
∴　∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
　　已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．
∴　BC = BD = AB ．
由等边三角形的性质可知，AC 也是BD 边上的中线，
探索新知
你还能用其他方法证明吗？
另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵　∠ACB=90°，∠A =30°，
∴　∠B =60°．
在△BCE 中，
∵　∠BCE=60°，∠B =60°，
∴　△BCE 是等边三角形．
∴　BC =BE =CE．
E
A
B
C
探索新知
在△ACE 中，
∵　∠A=30°，∠ACE =30°，
∴　△AEC是等腰三角形．
∴　CE =AE．
∴　BC =BE =CE =AE．
E
A
B
C
∴　BC =BE =AE = AB．
探索新知
符号语言：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴　BC = AB．　　
探索新知
知识点4 直角三角形性质的运用
　　例2　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
A
B
C
D
E
探索新知
A
B
C
D
E
解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴　BC = AB，DE = AD．　
又　AD = AB，
∴　DE = AD =1.85（m） ．　　
∴　BC =3.7（m）．　
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　
巩固练习
练习1 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE =∠CDF = 60 °，图中有哪些与BD相等的线段？
BD = DC = DE = DF
= AE = BE = AF = CF
巩固练习
　　 练习2　如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
巩固练习
　　练习3　Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　
证明：∵∠B +∠A =180°-∠C =90°，
∠B =2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
巩固练习
练习4 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°，
∴AD= BD = DC，即DC = 2AD.
巩固练习
练习5 已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小．
解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ，
∴△APQ是等边三角形.
∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ.
∴∠B = ∠APQ = 30°，
∠C = ∠AQP = 30°.
∴∠BAC=180°-∠B -∠C=120 °.
巩固练习
练习6 如图所示， 在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE = BD，DB⊥BC于B，∠ABC = 120°， 求证: AB = 2BC.
证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中，
AD = CD，
∠ADE =∠CDB，
DE = DB，
巩固练习
∴△ADE≌△CDB (SAS).
∴∠E = ∠CBD = 90°，AE = BC.
又∠ABC = 120°，
∴∠ABE = 30°.
∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
巩固练习
练习7 如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试证明BE = EF = FC.
证明：在等边三角形ABC中，∠ABC =∠ACB = 60°.
∵BO，CO分别平分∠ABC∠ACB，
∴∠ABO =∠OBC = 30°∠ACO =∠OCE = 30°，
巩固练习
又OE∥AB，OF∥AC，
∴∠BOE =∠ABO =∠OBC = 30°，∠COF =∠ACO =∠OCB = 30°.
∵BE = OE，CF = OF，∠OEF = 2∠OBE = 60°，∠OFE = 2∠OCF = 60°.
∴△OEF是等边三角形.
∴OE = EF = OF.∴BE = EF = FC.
巩固练习
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA∠A=30°，
∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.
∴BD= BC，BC= AB，
∴BD= AB.
练习8 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高,∠A=30°．求证：BD= AB．
课堂小结
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
∵　在Rt△ABC 中 ∠C =90°，∠A =30°，　　
　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∴　BC = AB．　　
作业布置
1.习题13.3的4，5，6，7；
2.完成练习册本课时的习题。

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