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第 4 章 数列
人教A版2019选修第一册
4.2.1等差数列的概念（第1课时）
01等差数列的通项公式
02等差中项的应用
目录
学习目标
1.理解等差数列的概念(难点).
2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).
3.掌握等差数列的判定方法(重点).
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
知识回顾
我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了
函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）
后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，
指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了
数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的
通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数
学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。
引言
新课引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。
2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利
尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离
地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为

概念学习
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
等差数列的概念　
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
a1=1 公差 d=
练习2 判断题
（1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ）
（2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ）
（3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列（ ）
（4）若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+1－an （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+2－an+1 （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
1，2，5，6，9，10,…
等差中项　
由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单
的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等
差数列的定义可以知道，2A=a+b .
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
等差数列的递推公式
所以 a2－a1 = d，
a3－a2 = d，
a4－a3 = d，? ? ?
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，
? ? ? ? ? ?
an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则
f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为________，公差为____.
(k＋b)
k
(1) 等差数列通项公式的一般形式：
通项公式　
首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为
an= a1＋(n－1)d.
an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
③等差数列{an}的单调性与公差d有关.
当d>0时，等差数列{an}为递增数列；
当d＝0时，等差数列{an}为常数列；
当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
（1）an=9+（n－1）×9=9n
（2）an=38+（n－1）×2=2n+36
（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
1.等差数列的
通项公式
例1.（1）已知等差数列????????的通项公式为????????=5?2????，求????????公差和首项；
（2）求等差数列8,5,2…的第20项。
?
分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由????????+1?????????= ????，即可求出公差????，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
?
解：（1）当 ????≥2时，由????????的通项公式为????????=5?2????，
可得?????????1 =5?2?????1=7?2????.
于是????=??????????????????1=(5?2????)-(7?2????)=??2.
把代入通项公式????????=5?2????，可得????1=3
?
典例
（2）由已知条件，得????=5?8=?3
把????1=8, ????=?3代入????????=????1+(?????1) ????,得
????????=8?3(?????1)=11 ? 3?????,
把????=20代入上式，得
????20=11 ? 3×20=?49?,
所以，这个数列的第20项是?49?
?
例2 －401是不是等差数列－5，－9，－13， ···的项？
如果是，是第几项？
解: 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，
得数列{an}的通项公式为
an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4
设 －4n－1＝－401，解得 n＝100.
∴－401是这个数列第100项.
典例
求等差数列通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，
再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
归纳总结
2.等差中项的应用
典例
归纳总结
课本练习
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
2. 求下列各组数的等差中项:
3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a1
a3
a5
a7
d
－7
8
2
－6.5
0.5
15.5
3.75
15
－11
－24
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
随堂检测
当堂达标
4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.
5．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
跟踪训练
(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
等差数列
an=a1+(n-1)d
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
3等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
课堂小结

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