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九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》导学案
1、理解垂径定理，学会利用“垂径定理和勾股定理相结合”来解答题目
2、理解垂径定理的推论，理解推论1中“平分弦（不是直径）”的说法
重点：学会利用“垂径定理和勾股定理相结合”来解题；理解垂径定理的推论1
难点：垂径定理的应用中，用到垂径定理、垂径定理的推论以及勾股定理，能综合运用以上知识点
1、垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2、垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
1、（2021 南岗区模拟）如图，的直径垂直弦于点，且为半径的中点，若，则直径的长为　　
A． B．6 C． D．
2、（2021 碑林区校级模拟）如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为　　
A．3 B．4 C． D．
3、（2021 广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为　　
A． B． C． D．
4、（2020 梧州）如图，的直径过弦的中点，连接，，，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
5、（2016 宿迁）如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为　 　．
6、（2021九上·甘州期末）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l ，求⊙O的半径.
1、（2020秋 吴兴区期末）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，则长为　　
A．10 B．9 C． D．8
2、（2020秋 荔湾区期末）“衢州有礼”已成为一块金名片，如图所示，在一块圆形宣传标志牌中，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为　　
A． B． C． D．
3、（2020秋 澧县期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的　　
A． B． C． D．
4、（2020秋 兰陵县期末）中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为　　
A． B． C． D．
5、（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为　　
A． B． C． D．
6、（2020 广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为　　
A． B． C． D．
7、（2021 开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为　　．
8、（2020九上·旬阳期末）如图，直径为1m的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为0.8m，求水的最大深度CD。
本节课所学知识点
错题及错误原因
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九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》导学案
1、理解垂径定理，学会利用“垂径定理和勾股定理相结合”来解答题目
2、理解垂径定理的推论，理解推论1中“平分弦（不是直径）”的说法
重点：学会利用“垂径定理和勾股定理相结合”来解题；理解垂径定理的推论1
难点：垂径定理的应用中，用到垂径定理、垂径定理的推论以及勾股定理，能综合运用以上知识点
1、垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2、垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
1、（2021 南岗区模拟）如图，的直径垂直弦于点，且为半径的中点，若，则直径的长为　　
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：连接，设的半径为，
则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
即的直径，
2、（2021 碑林区校级模拟）如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为　　
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接
设弧所在圆的半径为，则，，
经过圆心，于，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
3、（2021 广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，如图所示：
则，，
，
，
即这些钢索中最长的一根为，
4、（2020 梧州）如图，的直径过弦的中点，连接，，，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：连接，
的直径过弦的中点，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
5、（2016 宿迁）如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为　 　．
【答案】
【解答】解：如图，作于
，
在中，，，，
，，
，
，
．
6、（2021九上·甘州期末）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l ，求⊙O的半径.
【答案】解：如图，连接OB，
∵OC⊥AB
∴DB=
设半径为r，故OC=OB=r，则OD=r-1
在直角三角形ODB中，有OB2=OD2+DB2
得到方程r2=（r-1）2+42
解得
1、（2020秋 吴兴区期末）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，则长为　　
A．10 B．9 C． D．8
【答案】B
【解答】解：过作于，如图：
中，，
而，，
，
中，，
而，
，
，
解得，
，
，
，
2、（2020秋 荔湾区期末）“衢州有礼”已成为一块金名片，如图所示，在一块圆形宣传标志牌中，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接、
垂直平分，
，、、在同一条直线上，
设的半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
3、（2020秋 澧县期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
4、（2020秋 兰陵县期末）中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在中，
，，
．
过作，交于点，如图所示
由垂径定理可得为的中点，
，且，，，
，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
．
5、（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接，如图所示
由题意得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即这个轮子的半径长为，
6、（2020 广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
7、（2021 开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为　　．
【答案】
【解答】解：作于，连接．
，，
，
在中
，
．
8、（2020九上·旬阳期末）如图，直径为1m的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为0.8m，求水的最大深度CD。
【答案】解：∵ 的直径为 ，∴ .
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ .
答：水的最大深度为 .
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错题及错误原因
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