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九年级数学上册《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案
1、理解弧、弦、圆心角之间的关系，必须在“同圆或等圆”中去探讨
2、求弦的长度、圆心角的度数需要用到“垂径定理”和“勾股定理”，这两个知识点也要理解，并加强计算
重点：在同圆或等圆中研究弧、弦、圆心角之间的关系
难点：在同圆或等圆中研究“弧”的时候，要考虑“优弧”或者“劣弧”
弧、弦、圆心角的关系
1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
3、正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
4、在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
1、（2021 浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个
2、（2020秋 道外区期末）下列图形中，为圆心角的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据圆心角定义可知：
．顶点不是圆心，所以选项不符合题意；
．顶点在圆上，圆周角，所以选项不符合题意；
．顶点是圆心，两边与圆相交，所以选项符合题意；
．顶点在圆上，圆周角，所以选项不符合题意．
3、（2020秋 郁南县期末）如图，为半圆的直径，点、为的三等分点，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点、为的三等分点，
，
，
，
，
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【解答】连接CD
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°
∴∠ABC=90°﹣25°=65°
∵BC=CD
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴=50°
5、如图，⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，的度数是40°，则∠BOD=　 　 　．
【答案】110°
【解答】解：连接DE
∵DC是圆的直径，
∴∠DEC=90°．
∵弧EC的度数是40°，
∴∠EDC=20°．
∴∠ECD=70°．
∵CE∥AB，
∴∠AOD=∠ECD=70°．
∴∠BOD=110°．
6、（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
【答案】证明：∵
∴
∴
1、（2020秋 斗门区校级期中）下列说法中，不正确的是　　
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解答】解：、直径是最长的弦，说法正确；
、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
、长度相等的弧是等弧，说法错误；
2、已知，如图⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，则弦CD所对圆心角为　 　 ．
【答案】60°
【解答】解：连接OC，OD
∵⊙O的半径OC=OD=OA=5cm，弦CD=5cm，
∴OC=OD=CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
即弦CD所对圆心角为60°．
3、如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有　　 　 ，与相等的弧有　 　 ．
【答案】AC，OC，CD，OD，BD，OB；　，
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠COA=∠DOB=60°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°；
又∵OA=OC=OD=OB，
∴△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；
∴OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；
==，
4、如图，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=a，则OA=　 　 ．
【答案】a　
【解答】解：过O作OC⊥AB于C点，如图
∴AC=BC=a，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
∴cos30°==，
∴OA=a．
5、（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
6、如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于点E、F，如果AE=BF，那么AC与BD相等吗？请说明理由．
【答案】解：AC与BD相等．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE和△OBF中，
，
∴△OAE≌△OBF（SAS）．
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD．
本节课所学知识点
错题及错误原因
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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九年级数学上册《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案
1、理解弧、弦、圆心角之间的关系，必须在“同圆或等圆”中去探讨
2、求弦的长度、圆心角的度数需要用到“垂径定理”和“勾股定理”，这两个知识点也要理解，并加强计算
重点：在同圆或等圆中研究弧、弦、圆心角之间的关系
难点：在同圆或等圆中研究“弧”的时候，要考虑“优弧”或者“劣弧”
弧、弦、圆心角的关系
1、定理：在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2、推论：在 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
3、正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在 中，① 相等，② 相等，③ 相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
4、在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
1、（2021 浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、（2020秋 道外区期末）下列图形中，为圆心角的是　　
A． B． C． D．
3、（2020秋 郁南县期末）如图，为半圆的直径，点、为的三等分点，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
5、如图，⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，的度数是40°，则∠BOD=　 　 　．
6、（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
1、（2020秋 斗门区校级期中）下列说法中，不正确的是　　
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
2、已知，如图⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，则弦CD所对圆心角为　 　 ．
3、如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有　　 　 ，与相等的弧有　 　 ．
4、如图，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，AB=a，则OA=　 　 ．
5、（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
6、如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于点E、F，如果AE=BF，那么AC与BD相等吗？请说明理由．
本节课所学知识点
错题及错误原因
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