资源简介

圆锥曲线离心率及范围
【知识要点】
关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
一、圆锥曲线的离心率
方法1：利用定义法求离心率
知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。
方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！
例1.（2021年）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。
【解析】利用点F关于直线的对称点Q在椭圆上，由a，b，c的关系列方程求出椭圆离心率。
设Q(m，n)，由题意可得，解得：，
代入椭圆方程可得：，整体得：
化简得：，分解因式： 解得：
根法二：（定义法）这种解法是后来在做例2（成都诊断考试）的时候，联想到这种解法的。
【解析】设左焦点为，由关于直线的对称点在椭圆上，
得到且M为QF中点，
又O为F1F的中点，所以OM为中位线，且。
由点到线的距离公式计算得到:
再由得到：. 所以,
据椭圆定义：得到：，化简得： ，即．
通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。
例2.（2022成都市高三模拟）. 已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
A B C D
【答案】
【解析】由焦点到渐近线的距离为，得出
再根据题意，得出,所以
根据椭圆定义：即得到：，
即离心率为．
例3. （2022年 ）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为.
因为，，，所以，
设为椭圆右焦点，为椭圆左焦点，则，所以，
所以.故选D.
方法2：利用几何关系求离心率：
知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。
例1、（2021年）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意，把代入，得，
再由，得，即，
所以，解得.故选A．
解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，
所以，代入得，
所以，解得.故选A．
解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径，
则，.故选A．
例2、(2022年)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示，
设，所以为等腰三角形，且，
∴，∵，∴点坐标为，即点．
∵点在过点，且斜率为的直线上，
∴，解得．∴，故选D．
易错点：很多同学将点P画在了椭圆上，利用定义法求解导致错误。
例3. （2022年湖南永州市高三三模11题）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】不妨设在第二象限，，，由知，
由与相似，得（1），
由与相似，得（2）
（1），（2）两式相乘得，即，离心率为3.选B.
点评：此题类似于2016年新课标3卷12题
例4.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，椭圆，为半焦距），
的左焦点为，右顶点为，则，
抛物线于椭圆交于两点，
两点关于轴对称，可设，
四边形是菱形，，则，
将代入抛物线方程得，，
，则不妨设，再代入椭圆方程，
化简得，由，即有，
解得或（舍去），故选C.
方法3：定义法+几何关系结合
例1．（2022年衡水中学高三模拟16题）设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】由定义可知，．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得．
∵∴，
∴，整理得，∴，
例2、（2021绵阳南山中学模拟）已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，
可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=3m,
由双曲线定义知：CF′=5m， AF′= FB=3m，
由双曲线定义知：AF′-AF=2m=2a，解得m=a，
在△FAF′中，AF2+AF′2=FF′2，即a2+（3a）2=（2c）2，
即4c2=10a2，即c=a，所以
例3、（2021年长郡中学高三模拟12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若. 则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可画出以下图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，
即，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，选D.
二、圆锥曲线离心率的取值范围
方法1：利用三角形三边关系建立不等式。
例1、（2022年衡水金卷16题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，
则由已知得，即，,得，
由三角形三边关系得：，
再同除以a整理得，解得或，又，
故椭圆的离心率，故答案为．
例2、已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
解析 设椭圆的上、下顶点分别为,,则与均为等腰三角形.
由题知，椭圆上恰有个不同点，使得为等腰三角形，
所以在四个象限各有一点，使得为等腰三角形，
由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可.
令，如图所示，由图可得，即，得.
令，如图所示，由图可得，即，得.
综上可得，离心率的取值范围是. 故选D.
评注 本题利用对称性减少需考虑的对象，使问题变得简单明了.这种对称性思想在解决对称图形的相关问题时应用得很普遍，请同学们尝试使用.
方法2：利用判别式建立不等式
例3、(2022广东佛山市高三上期检测)已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，直线的方程为，
联立双曲线方程，消去，得＋，
所以①，②．
因为＝，即，
代入①②整理，得－，．
由，得，即，，解得；
由，得，即，，
所以．综上所述，．
方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式
例4、（2022年长沙市雅礼中学高三模拟11题）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，，．
所以，．
因为为钝角，所以与的夹角为锐角，
所以，即．
两边同时除以并化简得，
解得，又，所以．
例5、已知为坐标原点，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点、，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取为中点，则等价于
也就是要求点的横坐标。由
解得，故需，解得，则
方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
例6、（2021年成都市树德中学高三模拟11题）已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(1, 2) B．(2, +∞) C． D．
【答案】A
【解析】如图1，不妨设，则过F1与渐近线平行的直线为，
联立解得即
因M在以线段为直径的圆内，
故，化简得, 即，解得，又双曲线离心率，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2).
例7、（2022年绵阳市三台中学二诊模拟）椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】A
【解析】设，且的外接圆的方程为，
将分别代入可得，
由可得，即，
所以，即，则所以，故选A．
方法5：利用已知的角度关系建立不等式
例8、已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________．
【答案】
【解析】如图，设椭圆的右焦点为，连接，
∵AB，互相平分，∴四边形为平行四边形∴，
∵，∴由条件知，当B在短轴端点时，最大，
此时在中，，∴，
∴，即．
例9、设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
解析 由题可知当为上顶点或下顶点时为最大，依题意得，
可得，即，若椭圆上恒存在一点满足，
则，即，所以，即．故选D.
方法6：利用已知长度（面积）关系建立不等式
例10、已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意有,设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则,
由点到直线距离公式有,故.
直线与坐标轴交点为:,即,
.答案选B
玩转练习
1、（2021年成都市石室中学高三模拟 11题）如图，双曲线的左、右焦点分别为，过作线段与交于点，且为的中点．若等腰△的底边的长等于的半焦距，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】连结，由条件知，且．
由双曲线定义知，
在中，，
解得的离心率，故选C．
2、（2021年河北衡水中学高三模拟12题）已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】因为，所以
连接,则可得三角形为直角三角形,在中,
根据椭圆的定义:, 所以．
3．（2021年成外半期11题）已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，则，
所以，解得，
所以，
即，离心率．
4、如图，在中，，、边上的高分别为、，若以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为 ．
【答案】
【解析】由于、为焦点，设,则
在椭圆中,由椭圆的定义有，即,∴,
同理在双曲线中,有，即,∴,
故．
5、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为2的直线交椭圆于，两点，若为直角三角形且，则椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
解析 由题意得，由，得，，
所以，，从而，故.故选A.
6、以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 .
解析 由题意画出示意图，如图所示.
以两焦点，为直径作圆的方程为，联立，
得，中点，，
由图可知，即，化简得，所以.
7、（2021年浙江理）如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.
直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得:Q(,);
由,得:P(,).∴直线MN为:y-=﹣(x-),
令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,
解之得:,即e=.
8.（绵阳一诊11题）已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则的离心率为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】为方便运算，不妨设，则，
因为是正三角形，所以，
将其代入，得，
即，所以
，，
所以离心率．
9、(2017年新课标Ⅰ16题)已知双曲线：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线的一条渐近线交于M、N两点。若，则的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，．
因为，所以，到直线的距离，
在中，，代入计算得，即．
由得，所以．
10.（2021年衡水中学高三下期中11题）已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）.
（A） （B） （C） （D）2
解析：如图所示，设左焦点关于渐近线对称点落在圆 上，
由几何性质得，，
所以为的中位线，得，
又，得，且，，
故，则，因此.故选D.
11.（2022年湖南长郡中学高三月考11题）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与 轴交于点.若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
解析 解法一：如图所示，记得三等分点 （靠近点）的坐标为，则，
从而直线的方程为：，直线的方程为：.
由题意，可设直线与直线的交点的坐标为，
所以，，
可得，即，得.故选B.
解法二：如图所示，记得三等分点为（靠近点）.由轴，知，
于是，所以 ①
类似地，有，于是 ②
由得，即，得.故选B.
12、（2022年江苏省启东中学校考）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为_______
【答案】2
【解析】由轴得： ， ，
所以，
又，由，
由，得： ，因此，
代入椭圆方程得： .
13、已知双曲线与椭圆：具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】由题意设第一象限的交点，则，
交点四边形的面积，当时取最大值，
此时，即点在双曲线上，
由双曲线的焦点为，则双曲线的定义可得， ，则，即，
故双曲线的离心率．
14、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．16
【答案】C
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成，
故选：C.
【点睛】
本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义以及椭圆与双曲线的离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
15. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B. C. D.
解析 由，得.
设的中点为，连接，则，所以，
又，因此为直角三角形，.
依题意，设，，，
则离心率.故选D.
16.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．
解析 依题意画图，设双曲线右顶点为，由知点为线段的中点.
因为，所以.设双曲线的右焦点为，连接，
由点为的中点，点为的中点，得为的中位线，
所以，故.在中，，则，，
由双曲线定义知，即，所以.
17.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
解析 由角平分线定理知.
又，所以，.在中，由余弦定理得：
，
整理得，即，
所以.故选B.
18．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得．
可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出．
设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，∴．
则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化为：m2，n2＝9m2＝6b2．
∴6b2＝4c2．∴c2，化为：．故选：D．
19．（2021年河南联考12题）已知双曲线:的左右焦点分别为，.双曲线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设点在双曲线右支上，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，所以，
所以，又，所以，所以，所以，解得.故选A.
考点：1双曲线的性质.
20．(2022届绵阳南山中学高三月考)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：不妨令双曲线的方程为，
由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°，即，∴，
∵b2＝c2﹣a2，∴，∴，∴，
∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．
21．（2022届河南天一大联考11题）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】B
【解析】当时代入得，则，则,
将代入,得,则,则．
∵,∴，即,则,
即,则,则，故选B．
22．已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（1，] C． D．（2，+∞）
【答案】B
【解析】双曲线的右顶点为A（a，0），
抛物线C：y2＝8ax的焦点为F（2a，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设P（m，m），即有（m﹣a，m），（m﹣2a，m），
由，可得 0，即为（m﹣a）（m﹣2a）m2＝0，化为（1）m2﹣3ma+2a2＝0，
由题意可得△＝9a2﹣4（1） 2a2≥0，即有a2≥8b2＝8（c2﹣a2），即8c2≤9a2，
则e．由e＞1，可得1＜e．故选：B．
23．已知双曲线C的两个顶点分别为A1，A2，若C的渐近线上存在点P，使得，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）
【答案】A
【解析】由题意设一条渐进线为：，取点P（），且A1（﹣a，0），A2（a，0）．
因为，（x+a）22[（x﹣a）2]，
整理得，该方程有解时，存在符合题意的P点，
故，化简得，∴1＜e≤3．故选：A．
本题考查双曲线的几何性质、离心率的求法．构造关于a，b，c的不等式是此类问题的基本思路．属于中档题．
24．已知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]
【答案】A
【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＝8a|PF2|，
∴m－n＝2a，m2＝8an，∴＝，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，∴n＝2a，m＝4a，
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|＋|PF2|，∴2c＜4a＋2a，∴＜3，当P为双曲线顶点时，＝3
又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤3，故选：A.专题6 圆锥曲线离心率及范围问题
【知识要点】关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．
一、圆锥曲线的离心率
方法1：利用定义法求离心率
知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。
方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！
例1.（2021年）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
例2.（2022成都市高三模拟）. 已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
A B C D
例3. （2021年）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方法2：利用几何关系求离心率：
知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。
例1、（2022年）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B． C．2 D．
例2、(2021年新课标Ⅱ12题)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B． C． D．
例3. （2022年湖南永州市高三三模11题）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例4.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
方法3：定义法+几何关系结合
例1．（2022年衡水中学高三模拟16题）设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为__________．
例2、（2022绵阳南山中学模拟）已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例3、（2022年长郡中学高三模拟12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若. 则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
二、圆锥曲线离心率的取值范围
方法1：利用三角形三边关系建立不等式。
例1、（2021年衡水金卷16题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
例2、已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
方法2：利用判别式建立不等式
例3、(2022广东佛山市高三上期检测)已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是 ．
方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式
例4、（2022年长沙市雅礼中学高三模拟11题）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例5、已知为坐标原点，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点、，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
例6、（2022年成都市树德中学高三模拟11题）已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(1, 2) B．(2, +∞) C． D．
例7、（2022年绵阳市三台中学二诊模拟）椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
方法5：利用已知的角度关系建立不等式
例8、已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________．
例9、设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
方法6：利用已知长度（面积）关系建立不等式
例10、已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
玩转练习
1、（2022年成都市石室中学高三模拟 11题）如图，双曲线的左、右焦点分别为，过作线段与交于点，且为的中点．若等腰△的底边的长等于的半焦距，则的离心率为
A. B. C. D.
2、（2022年河北衡水中学高三模拟12题）已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
3．（2022年成外半期11题）已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4、如图，在中，，、边上的高分别为、，若以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为 ．
5、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为2的直线交椭圆于，两点，若为直角三角形且，则椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
6、以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 .
7、（2021年浙江理）如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是 （　　）
A． B． C． D．
8.（绵阳一诊11题）已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则的离心率为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9、(2017年新课标Ⅰ16题)已知双曲线：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线的一条渐近线交于M、N两点。若，则的离心率为________．
10.（2022年衡水中学高三下期中11题）已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）.
（A） （B） （C） （D）2
11.（2022年湖南长郡中学高三月考11题）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与 轴交于点.若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
12、（2022年江苏省启东中学校考）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为_______
13、已知双曲线与椭圆：具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线的离心率为__________．
14、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．16
15. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B. C. D.
16.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．
17.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
18．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
19．（2022年河南联考12题）已知双曲线:的左右焦点分别为，.双曲线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．(2022届绵阳南山中学高三月考)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022届河南天一大联考11题）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
22．已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（1，] C． D．（2，+∞）
23．已知双曲线C的两个顶点分别为A1，A2，若C的渐近线上存在点P，使得，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）
24．已知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]

展开更多......

收起↑