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求轨迹方程9类圆锥曲线相关问题
一.直接法(设点求轨迹)
1．已知两定点，一动点与两定点A、B的连线、的斜率的乘积为．求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．
【答案】答案见解析．
【分析】用坐标表示斜率之积后整理即可得轨迹方程，整理后可得轨迹的形状．
【详解】由已知的斜率存在，所以，
，，
所以，整理得，
所以点轨迹方程为，，它表示椭圆除去轴上的两点，
因此轨迹为椭圆，除去轴上的两个顶点．
2．动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【答案】；动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
【分析】题意可知，由两点间得距离公式化简即可求解
【详解】由题意可知：，
又，和，
所以，
化简得即，
所以动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
3．已知点到点的距离比点到直线的距离小1.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；
解法2：定义法求抛物线的方程.
（2）轨迹法求点的轨迹方程.
【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知
当时，可化为，
整理得，（舍去）
当x< 3时，可化为
整理得，
故点M的轨迹方程为
解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等，
所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线，
点M的轨迹方程为；
（2）设Q（x，y），
则， ∴
又，故
即为所求.
二.相关点法(找到已知点与未知点的关系)
4．如图所示，过点作直线交双曲线于，两点，为原点，以，为一组邻边作平行四边形．
(1)试求点的轨迹方程；
(2)是否存在这样的直线，使四边形为矩形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）当直线的斜率存在时,和双曲线方程联立后利用根与系数关系,求出AB的中点,可得P的轨迹方程;再检验当过的直线的斜率不存在时,同样满足；（2）分类讨论,利用,进一步利用“设而不求法”整理得到矛盾的式子,从而得到结论,
【详解】（1）设直线的方程为,代入双曲线,可得.
当时，直线与渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点，不合题意舍去.
当时，直线与双曲线有两个交点，设
此时，
所以.
所以.
所以AB的中点为，即OP的中点为.
设,则，消去k得：;
当时，AB的中点为，三点共线，不能得到平行四边形，故，即.
所以的轨迹方程为.
当过的直线的斜率不存在时,直线的方程为,把代入双曲线得：，,同样满足.
所以点的轨迹方程为.
（2）当过的直线的斜率不存在时,直线的方程为,把代入双曲线得: ，,此时不满足;
当过的直线的斜率存在时,由（1）可知：.
若,则
整理得：显然不成立.
所以,不存在使的直线l.
5．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；
（3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.
【详解】（1）解：设.
所以，根据“伴随点”的定义，有，则，
又因为，
所以，即.
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以.
因为，，所以，
所以的取值范围是.
（3）解：由题意，得椭圆的方程为.
设，，则，.
联立椭圆和直线的方程，得
所以.
由题意，得，
所以，.①
因为为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，，
所以.
又因为点到直线的距离，
所以.
三.向量关系应用
6．设点为圆上的动点，过点作轴垂线，垂足为点，动点满足（点、不重合）
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的动直线与轨迹交于、两点，定点为，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的值为定值，定值为
【分析】（1）由平面向量的坐标运算与相关点法求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理化简后求解，
【详解】（1）设点P为，动点M为，则Q点为，
，
，
求得：又，
即点M的轨迹方程为：，
（2）设直线AB方程为：，
由得，
或，
设A点，B点，则，
求得： ，
的值为定值，定值为．
7．已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．求动点P的轨迹方程；
【答案】．
【分析】设 ，则，由·=0，得，再由两点间的距离公式代入化简即可得出答案.
【详解】设 ，则，
由·=0，得，
即
化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
8．已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点满足，求直线的方程；
(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
【答案】(1)
(2)，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
【分析】（1）根据得到是线段中点，利用点差法得到，得到直线的方程；
（2）设出，根据，得到，结合，，得到，即动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
（1）
由已知可得，是线段中点，
，，
由已知，，
两式相减化简整理得：，
所以，
直线的方程是；
（2）
设，，
由，可得
由②
结合①②可得，
又，是椭圆上的点，故，，
所以，即，
所以动点的轨迹方程为，
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
四.图形中角的应用与转化
9．已知△ABC的顶点，，满足：．
(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，用坐标表示 ，即可整理出的轨迹方程；
（2）设直线l为，先讨论，结合条件，由对称性易得点N在y轴上；再讨论，此时结合条件以及角平分线定理可得y轴为的平分线，即，最后联立方程组，整理出，即可联立解出N的纵坐标，即可得结果
（1）
设，则，整理得，故的轨迹方程为；
（2）
设直线l为，当时，可得点P，Q关于y轴对称，可得，要使恒成立，即成立，即点N在y轴上，可设为.
当时，联立方程组，整理得，设，则，
要使恒成立，即成立，由角平分线定理则只需使得y轴为的平分线，即只需，即，即，解得，
综上可得，存在与M不同的定点，使得恒成立
10．已知△中，顶点，的坐标分别为与，动顶点在的上方，且对应的顶角为．
(1)求动顶点的轨迹方程；
(2)判断直线：与的轨迹的交点个数并指出相应的的取值范围．
【答案】(1)，且；
(2)答案见解析
【分析】（1）设点的坐标是，直线，的倾斜角分别为，，可得到，利用两点的斜率公式即可求出答案；
（2）直线：过定点，设为，求出，和直线与动点的轨迹相切时的斜率，结合图象即可求出答案
（1）
设点的坐标是，直线，的倾斜角分别为，，
由已知有，所以有，
所以，
可整理得，即，
所以动点的轨迹方程为：，且；
（2）
直线：即过定点，设为，
所以有，，
由可得圆心半径为2，
所以由直线与动点的轨迹相切可得：解得，
所以通过图象可得到，
当直线：与的轨迹没有交点时，的取值范围为；
当直线：与的轨迹有且仅有一个交点时，的取值范围为或或；
当直线：与的轨迹有两个交点时，的取值范围为或
五.定义法(转化为定义)
11．已知动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动点的轨迹方程.
【答案】
【分析】由圆与圆外切可得，由圆与圆内切可得，故，由椭圆的定义即可求得动点的轨迹方程.
【详解】因为圆：，所以圆的圆心为，半径为；
圆：，所以圆的圆心为，半径为；
设圆M的半径为r，由圆M与圆：外切，得，
由圆M与圆：内切，得，
又，故，
则动点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，
所以，故，则，，
故动点的轨迹方程为.
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程；
(3)若动圆P过点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据AD与AB垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；
（2）可得M即为外接圆圆心，根据直线AB和AD方程可求出点A坐标，即可求出半径，得出圆的方程；
（3）由题可得，然后根据双曲线的定义即得.
（1）
因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为，
又因为点在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为，即
（2）
由，解得点A的坐标为，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为；
（3）
因为动圆P过点N，
所以是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以，即，
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支，
可设双曲线的方程为，
因为实半轴长，半焦距，
所以虚半轴长，
从而动圆P的圆心的轨迹方程为．
13．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）由题意得，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到轴，结合以及求得即可求解.
（1）
由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，
直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
（2）
由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，
则，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，由条件设切线方程为，
由消去y整理得，∵直线与抛物线相切，∴，∴，
∴切点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴轴，∵，
∴，∴，
∴，∵m为常数，∴的面积为定值.
14．已知定点，，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作两条直线，且，与点的轨迹交于 两点，与点的轨迹交于 两点，探究：是否存在常数，使恒成立.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据中垂线的性质得到，，再结合椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆；
（2）分斜率是否存在两种情况讨论，设出l1的直线方程计算|AB|的长度，再利用再|AB|的结果上直接代换求得|CD|，代回验证即可得出.
(1)
圆的圆心为，半径为4，
∵线段的垂直平分线与线段交于点，∴，
因为在圆的内部，又，
∴
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，半焦距，
∴，短半轴长
∴点的轨迹方程为
(2)
假设存在常数λ，使恒成立，则，
①当l1，l2中一条斜率不存在时，可知|AB|，|CD|其中一个长为2a=4，另一个为，
此时，
②当l1，l2的斜率存在且不为0时，不妨设l1：x=ty+1（t≠0），，
，
联立得
∴，，
∴，
用代替上式中的t可得，，
∴，
综上所述，存在常数使得恒成立.
15．已知曲线C上任意一点满足方程.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；
（2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程
（1）
设，，
则，等价于，
∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线C的方程为；
（2）
设点，，则
，两式作差得，
又G为线段中点，得，则
，即，
故G的轨迹方程为.
16．已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于，两点，以坐标原点为圆心，1为半径的圆与直线相切，求△面积的最大值．
【答案】(1)且；
(2).
【分析】（1）令，可得线段为直径的圆心为，利用两点距离公式及两圆的内切关系列方程并化简，即可得轨迹方程.
（2）要使△面积最大只需最大，讨论直线斜率，设直线方程，联立的轨迹方程，应用韦达定理、弦长公式求的最值，进而确定三角形面积最大值.
(1)
令，又在圆内，且圆与以线段为直径的圆内切，
所以线段为直径的圆心为，则，
整理有，则，
所以，又是圆内一动点，故，
故的轨迹方程为且.
(2)
由题意知：到直线的距离为1，要使△面积最大，只需最大，
若直线斜率不存在时，直线，此时为或，
所以，则△面积为；
若直线斜率存在时，令直线，而，即，
联立直线与的轨迹，，整理有，
则，，
所以，
则，
令，则，而，
所以，此时△最大面积为；
综上，△最大面积为.
六.消参法(消参得到xy关系)
17．已知直线和 与抛物线 （p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．求线段AB的中点M的轨迹方程；
【答案】
【分析】联立直线与抛物线方程，求出，，表达出线段AB的中点M的坐标，消去参数，求出轨迹方程.
【详解】联立，解得：，
把代入得：，
所以，
同理可得：，
则线段AB的中点M的坐标为，
因为，
所以，
消去得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为.
18．已知.
(1)若圆与轴相切，求圆的方程；
(2)求圆心的轨迹方程；
(3)已知，与轴相交于两点（点在点的左侧），过点任作一条直线（斜率存在）与圆相交于两点，是否存在实数使得若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意，利用圆与直线相切的性质，建立方程，可得，解得参数的值，可得答案；
（2）由（1）的标准方程，设出圆心的坐标，建立方程组，整理轨迹方程，可得答案.
（3）由题意，分为斜率为零以及不为零两种情况讨论，不为零时，联立方程，写韦达定理，利用，可得直线 的斜率互为相反数，建立方程，解得答案.
（1）
由圆与轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.
故先将圆的方程化成标准方程为：，
由，整理可得，解得，
即可得到所求圆的方程为，即；
（2）
由（1）可知圆的标准方程，则，
设圆心点坐标为，则，消去参数得，
因此，圆心的轨迹方程为；
（3）
在圆的方程中，令，得，即，
，且点在点的右侧，所以点 ，
假设存在实数，当直线与轴重合时，A 四点共线，则当时，，当时，；
当直线与轴不重合时，
设直线的方程为，设点 ，
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理得，，
，所以直线 的斜率互为相反数，
即恒成立，
所以，，解得.
综上所述，存在，使得.
19．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】（或）
【分析】由题意，设出点的坐标以及直线方程，联立方程，由根的判别式以及韦达定理，表示出中点坐标，消去斜率，可得答案.
【详解】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．
显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，
由，得：，
，解得：或，则，，
而，因此点M的坐标为，
，消去参数k，得：．
由或，得：或．
综上，点M的轨迹方程（或）．
七.交点类轨迹问题
20．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是、，椭圆上有两个动点、，且，如图所示，已知，且焦距为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)若点在第二象限，求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求直线与直线的交点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)16
(3)证明见解析，
【分析】（1）由已知可得，，再由求出，从而可求出椭圆方程，
（2）由题意设直线的方程为，，，，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式表示出，再表示出直线与之间的距离，从而可表示出四边形的面积，利用换元法可求出其最大值，
（3）由（2）中根与系数的关系，求解，设直线方程为，直线方程为，设，两直线方程联立可表示出交点坐标，消去参数后可得点的轨迹方程，或设，则直线与交点的轨迹方程为，将代入化简可得结果
（1）
因为，所以，
由于焦距为，所以，，
所以
所以椭圆的标准方程为
（2）
因为，所以，所以，
设直线的方程为，
，，，，由得，
由△得，，
，
直线方程为，所以，
直线与之间的距离为，
所以四边形的面积，
令，则，
令，则，
所以，所以当时，
即时，四边形最大值为16，
（3）
由第（2）问得，，
，
设直线方程为，直线方程为，
解法一：设，由，得，
所以，所以，
又因为点在第二象限，
所以，即所以交点的轨迹方程为；
解法二：设，则直线与交点的轨迹方程为，
即，所以，
所以或，
因为直线方程为，所以，
又因为点在第二象限，所以，
即所以交点的轨迹方程为．
21．设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，根据P在椭圆上，得到；再由MN即为椭圆在处的切线方程也为圆O：切点弦所在直线方程求解.
（2）过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，得到，，，再由，利用基本不等式求解.
（1）
解：设，.
∵P在椭圆上，∴①；
椭圆在处的切线方程为：②；
又QM、QN为过点Q所引的圆O：的两条切线，
所以切点弦MN所在直线方程为：③.
其中②③表示同一条直线方程，
则，得，代入①，
得，
故点Q的轨迹方程为.
（2）
过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，
则，，，
所以，
又，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
22．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程．
【答案】（）．
【分析】由题设，，再根据和三点共线、三点共线得，再根据化简即可得答案；
【详解】解：方法一：（利用点的坐标作参数）由题设，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以，，
因为三点共线，所以，，
所以，两式相乘得，（）
因为，所以，即，
所以，，整理得（），
所以，直线和的交点的轨迹方程（）
方法二： （利用角作参数）
因为椭圆的参数方程为（为参数）
所以，设，则，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以， ，
因为三点共线，所以，，
所以，两式相乘得
所以，整理得（），即点的轨迹方程为，（）.
23．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
【答案】；
【分析】设，，，利用，，结合点在C上，即得解.
【详解】由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴
24．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
(1)求点的轨迹方程.
(2)直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.
（1）
由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）
∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
八.与三角形心相关轨迹
25．如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．求△APB的重心G的轨迹方程．
【答案】
【分析】先假设切点，坐标分别为和，求得直线的方程，同理可得直线的方程，两条方程联立可得的坐标，则可得到重心的坐标，结合P在直线上运动即可得到答案
【详解】设切点，坐标分别为和，
易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程消去可得：，
因为与抛物线相切，
所以即，所以，
所以，
所以直线的方程为即，
同理可得直线的方程为：，
由于既在又在上，所以，解得即，
所以的重心的坐标为①，
②，
由①②可得，由点在直线上运动，
所以即，
从而得到重心的轨迹方程为：，即.
26．已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.
(1)求的方程;
(2)已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程
【答案】(1)
(2)（点除外）
【分析】（1）根据点的坐标可得，，的值，即可得椭圆方程；
（2）分别讨论直线斜率存在与不存在时直线是否过定点，再根据圆的性质得圆的方程.
（1）
由点在椭圆上，且轴，
则，所以椭圆方程为，
代入点，得，解得或，
又，所以，，
所以椭圆方程为；
（2）
当直线的斜率不存在时，可设，
则，，，
又，即，，解得，此时直线为轴，不成立；
当直线斜率存在时，可设，代入椭圆方程，
得，，即，
设，，
则，
又，，
即，
化简可得，即或，
当时，直线的方程为，过点，与点重合，不成立，
当时，直线的方程为，恒过点，
综上所述，直线经过点，
而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），
其中，，
圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，点除外，即为点的轨迹方程.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
九.中点类轨迹
27．已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；
(2)射线交椭圆于点，为直线上一点，且为的等比中项，过点作圆 的两条切线，切点为 ，求面积的最小值 .
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由题意可设直线l：.设线段的中点为点，利用“设而不求法”得到点E的参数方程（m为参数），消去m得：，即为所求；
（2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．由题意求出F点的轨迹的极坐标方程为或，化为直角坐标方程为或.
连接DM、DN，连接MN交DF于K，则.设.利用表示出，，得到.记，利用导数判断出在上单调递减.进而求出面积的最小值为.
【详解】（1）由题意，可设直线l：.不妨设，则，
消去x可得：，其中，，.
设线段的中点为点，所以，.
即（m为参数）.
消去m得：.
所以点的轨迹方程为：.
（2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
由点的轨迹方程为：化为极坐标方程为，即.
椭圆化为极坐标方程为，即.
可设射线的极坐标方程为：.
因为射线交椭圆于点，为直线上一点，所以，.
因为为的等比中项，所以，即，解得：.
所以F点的轨迹的极坐标方程为或，化为直角坐标方程为或.
如图示：连接DM、DN，则.
连接MN交DF于K，则.设.
若点F在直线上时，由对称性可知，当F位于F1时，最大，此时由，，可得：.
若点F在直线上时，由对称性可知，当F位于F2时，最大，此时由，，可得：，所以.
在直角三角形DNF中，由，可得：.
在直角三角形KNF中，，.
所以.
记，则.
因为，所以，所以在上单调递减.
要求面积的最小值，只需最大.
若点F在直线上时， F位于F1时，最大.此时.
若点F在直线上时， F位于F2时，最大，有.此时.
综上所述：面积的最小值为.
28．已知椭圆的C的方程：．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，使得为定值.
【分析】（1）设，则，再根据斜率公式代入即可计算的值；
（2）设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，即可得的范围
（3）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
（1）
设，因为P为椭圆C上一点，
所以，所以，
所以，
所以.
故为定值.
（2）
设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，①
，②
①减②得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
（3）
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
检测小题（可以当堂检测）
29．已知曲线和点，动点C在曲线上，
(1)若线段AC的中点为M，求动点M的轨迹方程；
(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程；
(3)若，求的重心G的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设动点M的坐标，利用线段AC的中点为M，表示出动点C的坐标，代入到，可求得答案;
（2）设动点P的坐标，利用，表示出动点C的坐标，代入到，可求得答案;
（3）设动点G的坐标，利用重心坐标公式，表示出动点C的坐标，代入到，可求得答案;
（1）
设动点M的坐标为 ，
则 ，即，
由动点C在曲线上可知：，
故，即，
故动点M的轨迹方程为；
（2）
设动点P的坐标为,
则由得： ，
即 ，而，
故，即 ，
故动点P的轨迹方程为：；
（3）
设的重心G的坐标为，
则 ，即 ，
而，故，即，
故的重心G的轨迹方程为.
30．已知的边AB长为6，
(1)若该三角形的周长为16，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程；
(2)若该三角形BC边上的中线长为5，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】建立直角坐标系，由条件与曲线定义求轨迹方程
(1)
以中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，如图所示建立平面直角坐标系
若的周长为16，则，
则C的轨迹为椭圆的一部分，，则，
C的轨迹方程为
(2)
设，中点为，则，
由题意，
化简得，
故C的轨迹方程为求轨迹方程9类圆锥曲线相关问题
一.直接法(设点求轨迹)
1．已知两定点，一动点与两定点A、B的连线、的斜率的乘积为．求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．
2．动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
3．已知点到点的距离比点到直线的距离小1.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求线段中点的轨迹方程.
二.相关点法(找到已知点与未知点的关系)
4．如图所示，过点作直线交双曲线于，两点，为原点，以，为一组邻边作平行四边形．
(1)试求点的轨迹方程；
(2)是否存在这样的直线，使四边形为矩形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
5．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
三.向量关系应用
6．设点为圆上的动点，过点作轴垂线，垂足为点，动点满足（点、不重合）
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的动直线与轨迹交于、两点，定点为，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．求动点P的轨迹方程；
8．已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点满足，求直线的方程；
(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
四.图形中角的应用与转化
9．已知△ABC的顶点，，满足：．
(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知△中，顶点，的坐标分别为与，动顶点在的上方，且对应的顶角为．
(1)求动顶点的轨迹方程；
(2)判断直线：与的轨迹的交点个数并指出相应的的取值范围．
五.定义法(转化为定义)
11．已知动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动点的轨迹方程.
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程；
(3)若动圆P过点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
13．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
14．已知定点，，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作两条直线，且，与点的轨迹交于 两点，与点的轨迹交于 两点，探究：是否存在常数，使恒成立.
15．已知曲线C上任意一点满足方程.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程.
16．已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于，两点，以坐标原点为圆心，1为半径的圆与直线相切，求△面积的最大值．
六.消参法(消参得到xy关系)
17．已知直线和 与抛物线 （p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．求线段AB的中点M的轨迹方程；
18．已知.
(1)若圆与轴相切，求圆的方程；
(2)求圆心的轨迹方程；
(3)已知，与轴相交于两点（点在点的左侧），过点任作一条直线（斜率存在）与圆相交于两点，是否存在实数使得若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
19．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
七.交点类轨迹问题
20．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是、，椭圆上有两个动点、，且，如图所示，已知，且焦距为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)若点在第二象限，求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求直线与直线的交点的轨迹方程．
21．设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
22．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程．
23．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
24．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
(1)求点的轨迹方程.
(2)直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
八.与三角形心相关轨迹
25．如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．求△APB的重心G的轨迹方程．
26．已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.
(1)求的方程;
(2)已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程
九.中点类轨迹
27．已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；
(2)射线交椭圆于点，为直线上一点，且为的等比中项，过点作圆 的两条切线，切点为 ，求面积的最小值 .
28．已知椭圆的C的方程：．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．
检测小题（可以当堂检测）
29．已知曲线和点，动点C在曲线上，
(1)若线段AC的中点为M，求动点M的轨迹方程；
(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程；
(3)若，求的重心G的轨迹方程．
30．已知的边AB长为6，
(1)若该三角形的周长为16，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程；
(2)若该三角形BC边上的中线长为5，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

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