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圆锥曲线中的热点问题（三）
------探索性问题
一、知识要点：
圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.
二、题型：
(一)探究是否存在常数的问题
1. 已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
2. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由
二、探究是否存在点的问题
1.已知椭圆的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2．已知椭圆：的一个焦点在直线上，且该椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得（为坐标原点）？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．
三、探究是否存在直线的问题
1. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 2 4
0 4
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
四、探究其它存在性问题
1.设椭圆过，两点，是坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出圆的方程；若不存在，说明理由.圆锥曲线中的热点问题（三）
------探索性问题
一、知识要点：
圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.
二、题型：
(一)探究是否存在常数的问题
1.已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
【分析】（1）根据上顶点的坐标和离心率可得，从而可求标准方程和焦距.
（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而可得.
【详解】（1）因为椭圆：经过点，且离心率为，
所以，，又因为，
可解得，，焦距为，所求椭圆的方程为.
（2）存在常数，使恒成立，
证明如下：
由，得，，
设，，则，.
又因为，，
所以
，所以，
因为线段的中点为，所以，所以.
存在常数，使恒成立.
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
2.已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件可得，当直线的斜率不存在时，直接计算即可；当直线的斜率存在时，设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出，由此确定出是否存在满足条件.
解：（1）由题意可得，解得.
故椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）可知.
当直线l的斜率不存在时，，则.
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为.
联立，整理得，
则，从而
故
由题意可得.
则.
因为，所以.
综上，存在实数，使得恒成立.
【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：
（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；
（2）利用公式或不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间的距离.
二、探究是否存在点的问题
1.已知椭圆的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，所以b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
[解](2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.
设P(x0，y0)，则x0＝－＝－，
y0＝kx0＋m＝－＋m＝，即P.
∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴，，
∴＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，
故即t＝1. ∴存在点M(1,0)符合题意.
2．已知椭圆：的一个焦点在直线上，且该椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得（为坐标原点）？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）设椭圆：的一个焦点，则，即，
又椭圆的离心率，则，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线非轴时，可设直线的方程为，
联立得 ，整理得．
由，
设，，定点且，
由韦达定理可得，．
由，可知等价于的斜率互为相反数．
所以，即，整理得．
从而可得，即，
所以当，即时，.
特别地，当直线为轴时，也符合题意．
综上，存在轴上的定点，满足．
三、探究是否存在直线的问题
1.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 2 4
0 4
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【详解】（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求
设：，把点（2，0）（，）代入得：
解得, ∴方程为
（Ⅱ）假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得 ∴①
②
由，即，得
将①②代入（*）式，得，解得
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得，
于是，①
即②
由，即，得
将①、②代入（*）式，得，解得；
所以存在直线满足条件，且的方程为：或．
四、探究其它存在性问题
1.设椭圆过，两点，是坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出圆的方程；若不存在，说明理由.
分析：（1）根据过点，，利用待定系数法，求出几何量，从而可求椭圆的方程；（2）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，可确定的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．
解析：（1）因为椭圆过，两点，
所以解得，所以，所以椭圆的方程为.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且,
设该圆的切线方程为，解方程组，得，
即，
则，即，
要使，需使，即，
所以，所以又
所以，所以，即或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,,,
所求的圆为，此时圆的切线都满足或，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足.
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且.
考点：（1）椭圆的方程；（2）椭圆性质的应用.
【方法点晴】熟练掌握椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆相交得到根与系数的关系、直线与圆相切的性质、垂直与数量积的关系是解题的关键，综合性较强，计算量较大，属于难题.在第一问中，利用待定系数法可直接求出椭圆的方程；在第二问中解题时要认真审题，假设存在这样的圆，设该圆的切线为，与椭圆联立，得，注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、椭圆性质的合理运用．

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