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圆锥曲线中的热点问题（一）
-----定点问题
一.知识要点：
1.解析几何中，定点问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.解决定点问题（曲线（含直线）过定点问题）的常用方法：
法1：特值法---通过特例（参数取殊值、曲线的特殊位置、极限位置）先探求定点，再证明与变量无关.
法2：参数法---把曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，另一端按参数进行整理，如，这个方程就要对任意参数恒成立，则方程组解所确定的点为曲线所过的定点．
二、题型：
（一）特值法
1.已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q 若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（二）参数法
1.已知椭圆C：若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点、分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
3.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.
4. 已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求的标准方程．
（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．
5.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点.圆锥曲线中的热点问题（一）
----定点问题
一.知识要点：
1.解析几何中，定点问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.解决定点问题（曲线（含直线）过定点问题）的常用方法：
法1：特值法---通过特例（参数取殊值、曲线的特殊位置、极限位置）先探求定点，再证明与变量无关.
法2：参数法---把曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，另一端按参数进行整理，如，这个方程就要对任意参数恒成立，则方程组解所确定的点为曲线所过的定点．
二、题型：
（一）特值法
1.已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q 若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
分析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 等腰直角三角形斜边长为2，即，故，由此可得椭圆方程 （2）首先考虑与坐标轴平行的特殊情况，当与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为，解方程组求出这两个圆的交点：
若存在定点Q,则Q的坐标只可能为
接下来就一般情况证明为所求 ，设直线,,，则，将与椭圆方程联立，利用韦达定理得：,,
，代入上式证明其等于0即可
解析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2, 即，故,椭圆方程为 （4分）
（2）当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;
当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 （6分）
下证明为所求。
若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线,,,
,,
,,
,
,即以AB为直径的圆恒过点
注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解
（二）参数法
(Ⅰ) 设直线方程，找的关系
1.已知椭圆C：若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解：设，由得，
，
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，，
，
整理得：，解得：，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点、分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
解析：（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，
由椭圆的定义知,的周长为，∴，故
∴椭圆的方程为
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线
设，
把直线代入椭圆方程，整理可得,
，即
∴，，
∵，
∵、都在轴上方．且，∴， ∴，
即,代入
整理可得，
即，整理可得，
∴直线，∴直线过定点
(Ⅱ) 设直线方程，求出的值
3.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.
分析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线，推出，结合离心率为，即可求出椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出，，即，，再根据点，即可求出的值，从而求出定点的坐标.
解析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线.
∴, ∴
∵,∴,∴, ∴椭圆方程为:
（2）设，联立,消去整理得：.
∴，
∴，
∵
∴
∴，整理得：
解得：或（舍去）,∴直线过定点.
点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查；
（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(Ⅲ) 设一个参变量，用这个表示参变量直线方程，进而确定定点.
4.已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求的标准方程．
（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．
【分析】（1）由焦点得，由离心率可求得，再由求得后可得椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为，，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，从而得点坐标，同理得点坐标，在直线斜率存在的情况下，求出直线斜率，得直线方程，由直线方程得定点坐标，然后说明斜率不存在时直线也过此定点．
解：（1）因为离心率，，且，
所以，，，故的标准方程为．
（2）证明：由（1）知．
设直线AB的方程为，，，
联立方程组，消去y得，
则，，所以M的坐标为．
因为，所以CD斜率为．
将M坐标中的k换为，可得N的坐标为．
当时，设直线MN的斜率为，则，
所以直线MN方程为，
即，则直线MN过定点．
当时，直线MN的方程为，也过点．
综上所述，直线MN过定点．
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设直线AB的方程为，，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，从而可得中点坐标（用表示），点坐标，然后求出直线方程后，通过方程得出定点．
5.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点.
略解：（1）由题意知，，即
又圆心到直线的距离为，，
故椭圆的方程为
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
联立得①
设，，则，直线的方程为
令得，即
再将，代入整理得②
由①得,,代入②整理得
所以直线与轴相交于定点

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