资源简介

圆锥曲线中的热点问题（二）
------定值问题
一、知识要点：
1.解析几何中，定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型:
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得．
3.常见的定值结论：
(1)椭圆中常见的定值结论：
结论1：经过原点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上的动点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论2：已知是椭圆两点，是的中点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论3：设是椭圆上的三个不同点，关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则为定值.
结论4：不平行于坐标轴的直线与椭圆相切与点P，连接OP，证明：，为定值。
(2) 双曲线中常见的定值结论：
结论1：不平行于坐标轴的直线l与双曲线相交于A、B两点，P为弦AB中点，证明：，为定值
结论2：不平行于坐标轴的直线与双曲线相切与点P，连接OP，证明：，为定值。
结论3：过原点的直线与双曲线相交于A、B两点，P为椭圆上的任一点，连接AP、BP，证明：，为定值.
引导学生发现下面结论：
结论1：设直线l与曲线交于A、B两点，A、B的中点为M，若直线AB和OM（O为坐标原点）的斜率都存在，则，为定值
结论2：设直线l与曲线相切于P点，若直线l和OP（O为坐标原点）的斜率都存在，则，为定值
结论3：设直线过圆心与曲线 交于A、B两点，P为曲线上除A、B外的某一点，若AP、BP的斜率均存在，则，为定值
4.求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二、题型：
（一）与斜率有关的定值问题
1.如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2.在平面直角坐标系中，已知，动点满足
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
（二）与长度有关的定值问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），焦距为．过点M（-4，0）的直线l（直线l的斜率不为零）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交y轴于点E，F．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：|OE|·|OF|为定值．
2．已知直线与椭圆:交于两点.
（1）若线段的中点为,求直线的方程;
（2）记直线与轴交于点,是否存在点,使得始终为定值 若存在,求点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.
（三）与面积有关的定值问题
1.已知椭圆：()的左 右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.
2.已知椭圆右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程;（2）设为椭圆的上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．
（四）与向量有关的定值问题
1.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；
（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．圆锥曲线中的热点问题（二）
------定值问题
一、知识要点：
1.解析几何中，定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型:
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得．
3.常见的定值结论：
(1)椭圆中常见的定值结论：
结论1：经过原点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上的动点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论2：已知是椭圆两点，是的中点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论3：设是椭圆上的三个不同点，关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则为定值.
结论4：不平行于坐标轴的直线与椭圆相切与点P，连接OP，证明：，为定值。
(2) 双曲线中常见的定值结论：
结论1：不平行于坐标轴的直线l与双曲线相交于A、B两点，P为弦AB中点，证明：，为定值
结论2：不平行于坐标轴的直线与双曲线相切与点P，连接OP，证明：，为定值。
结论3：过原点的直线与双曲线相交于A、B两点，P为椭圆上的任一点，连接AP、BP，证明：，为定值.
引导学生发现下面结论：
结论1：设直线l与曲线交于A、B两点，A、B的中点为M，若直线AB和OM（O为坐标原点）的斜率都存在，则，为定值
结论2：设直线l与曲线相切于P点，若直线l和OP（O为坐标原点）的斜率都存在，则，为定值
结论3：设直线过圆心与曲线 交于A、B两点，P为曲线上除A、B外的某一点，若AP、BP的斜率均存在，则，为定值
4.求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二、题型：
（一）与斜率有关的定值问题
1.如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解:(1)由题意可知，把代入得：，，
又，两式联立解得： ， 椭圆C的方程为
(2)由（1）可知，，代入椭圆方程可得，所以
因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率互为相反数；
设直线的方程为：，代入得
设，，因为点在椭圆上，
所以， ， ，
又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得
， ,
所以的斜率, 即直线的斜率为定值，其值为.
点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
2.在平面直角坐标系中，已知，动点满足
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】⑴设，则由知化简得：，即动点的轨迹方程为；
⑵设过点的直线为： ，由得，
，将代入得
故为定值
（二）与长度有关的定值问题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），焦距为．过点M（-4，0）的直线l（直线l的斜率不为零）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交y轴于点E，F．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：|OE|·|OF|为定值．
解：（1）由题意可知，a＝2，焦距，即，
所以b2＝a2-c2＝1，所以椭圆C的标准方程为；
（2）证法一：点A的坐标为（2，0）
设直线l的方程为y＝k（x＋4）（k≠0），点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
联立方程 消去y后整理为（4k2＋1）x2＋32k2x＋64k2-4＝0
有，
由Δ＝（32k2）2-4（4k2＋1）（64k2-4）＝16（1-12k2）＞0，可得且k≠0
直线AP的方程为：，令x＝0，可得点E的纵坐标为
同理可得点F的纵坐标为
有
故|OE|·|OF|为定值．
证法二：设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），将直线l：y＝kx＋m的方程与椭圆C的方程联立，，消去y，整理得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2-4＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
直线AP：，令x＝0，解得，
同理可知，，所以，
整理得，将，代入，
可得，
因为直线过点M（-4，0），所以-4k＋m＝0，即m＝4k，所以．
2．已知直线与椭圆:交于两点.
（1）若线段的中点为,求直线的方程;
（2）记直线与轴交于点,是否存在点,使得始终为定值 若存在,求点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.
【答案】（1） （2）存在，,定值为.
【解析】（1）设,
代入椭圆得，两式相减得:,
,线段的中点为，,,
直线的斜率为:，直线的方程为:,即:.
（2）设,当直线与轴重合时,
有;
当直线与轴垂直时,
由,解得.存在点,则,,
根据对称性,只考虑直线过点,设,设直线的方程为,
由,消掉,可得:,
根据韦达定理可得:,，
,
同理,
,
综上所述,存在点M(,0),使得为定值.
（三）与面积有关的定值问题
1.已知椭圆：()的左 右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.
【解析】（1）因为的周长为，
所以，即.
又离心率，解得，，.
∴椭圆的方程为.(4分)
（2）设，，，将代入
消去并整理得，
则，，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为
.
故平行四边形的面积为定值为.
2.已知椭圆右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程;（2）设为椭圆的上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．
解：⑴依题意得解得 ，则椭圆的方程为.
⑵设，则，，
令得，则,
，令得，则,
∴
（四）与向量有关的定值问题
1.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；
（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；
【分析】（1）由直线过焦点，且与半径为，圆心的圆相切知圆心到直线的距离即可求直线斜率，进而得到直线方程；（2）由直线与抛物线、轴的交点情况知斜率存在且，令，联立方程得，又，，应用向量共线的坐标表示有即可确定是否为定值.
【详解】（1）由题意知：且圆的半径为，圆心，即有在圆外，
∴设直线为，则圆心到直线的距离，
解之得：，即直线的方程为.
（2）由过的直线与抛物线交于，两点，与轴的交点为，即斜率存在且，设直线为，有，
联立直线方程与椭圆方程，有，可得，
设，，即有，
，，，，
由，，可得，，
∴，即可得为定值
【点睛】本题考查了抛物线，由直线与抛物线的交点情况，结合它与圆的位置关系求直线方程，根据直线与y轴、抛物线的交点，结合向量共线情况说明参数之和是否为定值.

展开更多......

收起↑