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第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．
2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．
重点： y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．
难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的________值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，_________叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.
(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.
2.正、余弦函数的奇偶性
1．对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是____函数，正弦曲线关于______对称．
2．对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是____函数，余弦曲线关于________对称．
3.正、余弦函数的单调性与最值
不 同 处 图象
奇偶性 ____函数 ____函数
单调性 在(k∈Z)上是________；在(k∈Z)上是________ 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是________；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上________
不 同 处 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z)
最值 x＝___________时，ymax＝1； x＝___________时，ymin＝－1 x＝_____时，ymax＝1；x x＝______时，ymin＝－1
提出问题
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
问题探究
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．
1.周期性
一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．
周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期．
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）．
根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．
典例解析
例2．求下列三角函数的周期：
(1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；（3）x∈R;
2.奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 x 轴对称.这个事实，也可由诱导公式=；=得到.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助
做一做
1．(1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 (　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
3. 单调性
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 ） 上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
观察图 5.4-8，可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升， 的值由-1增大到1；当 由 增大到时，曲线逐渐下降， 的值由 1减小到 -1.
的值的变化情况如表 5.4.2所示 ：
就是说，在区间上单调递增， 上单调递减，有正弦函数的周期性可得；
正弦函数在每一个闭区间（ k∈Z ）上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间（ k∈Z ）上都单调递减 ,其值从 1减小到-1．
类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如 ）上函数值的变化规律， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3
由此可得，,在区间 上单调递增，
其值从-1 增大到1；上单调递增，
余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ，其值从-1 增大到 1；
在每一个闭区间 , 上都单调递减，其值从 1减小到 -1．
函 数 名 递增区间 递减区间
y=sinx
y=cosx
４.最大值与最小值
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 ＝ 时,取得最大值 １，当且仅当 ＝　 　时,取得最小值 －１；
余弦函数当且仅当 ＝ 　时,取得最大值 １ ，
当且仅当 ＝ 　时,取得最小值 －１．
例3. 下列函数有最大值、最小值吗？ 如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值 ．
（ １ ） ， ∈R；
（ ２ ） ∈R．
例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：
(1) ;
(2) cos; cos
例5. 求函数, ∈［ －２π ，２π］ 的单调递增区间 ．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　)
(3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)
2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
A.　　　　B．π C．2π D．4π
3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)
A. B．[－π，0] C. D.
4．比较下列各组数的大小：
(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin 与sin.
1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
2. 求函数的单调区间：
（1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间
参考答案：
知识梳理
1最小的正数; 2π; 2π 2奇;原点;偶;y轴
3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2kπ＋(k∈Z)；2kπ－(k∈Z)；2kπ＋π；2kπ
学习过程
例2．分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R；
【解】(1)，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.
(2)令，由，得，且的周期为2π.即
因为cos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x，所以cos2(x＋π)＝cos 2x，
由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
令,由得Z且的周期为即周期为2π.
即，,于是，
所以
由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.
回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
做一做：【答案】　A
【解析】　(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
(2)∵f(x)＝sin＝－cos x，∴f(－x)＝－cos＝－cos x，
∴函数f(x)＝sin为偶函数.
例3. 解 ： 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值 ．
（ １ ） 使函数 ， ∈R取得最大值的 狓 的集合，
就是使函数 ， ∈R ，
取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ，k ∈Z ｝；
使函数， ∈R，取得最小值的 狓 的集合，
就是使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合
｛ ｜ ＝ （ 2k +1） π，k ∈Z ｝ ．
函数， ∈R 的最大值是 １＋１＝２； 最小值是 －１＋１＝０．
(2)解 ： 令 z ＝2， 使函数） ， z∈R 取得最大值的 z 的集合，
就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ，k ∈Z ｝
由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以，使函数∈R
取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ．
同理，使函数∈R取得最小值的 的集合是
｛ ｜ ＝ +kπ, k ∈Z ｝ ．
函数 ∈R的最大值是 ３，最小值是 －３．
例4. 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 ． 为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小 ．
解 ：（ １ ） 因为-
，
所以
(2) 解：cos=cos=cos；coscos=cos
因为，
所以coscos；cos
例5. 分析 ： 令= 当自变量 的值增大时， 的值也随之增大，因此若函数 在某个区间上单调递增，则在相应的区间上也一定单调递增 ．
解 ： 令 = ， ∈［-２π ，２π］，则 ∈
因为∈ 的单调递增区间是∈ ，
且由 ，得 ．
所以，函数,，∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是
三、达标检测
1．【解析】　(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．
(3)×.因为定义域不关于原点对称．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.【解析】　因为sin＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，
所以函数f(x)的最小正周期为4π.
【答案】　D
3.【解析】　令x＋∈，k∈Z，得x∈，k∈Z，
k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而 .故选D.
【答案】　D
4．【解】　(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cos x在区间[90°，180°]
上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.
(2)sin＝sin＝sin ＝sin＝sin .因为0<<<，
函数y＝sin x在区间上是增函数，
所以sin

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