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2022-2023学年重庆市綦江区九年级（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（共12个小题，每题4分，共48分）
1．（4分）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3xy+4＝0 B．x3﹣x＝0
C．x2＝1 D．3x2﹣y＝20
2．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
3．（4分）一元二次方程x2﹣5x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
5．（4分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
6．（4分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
7．（4分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．60（1+x）2＝360
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝360
C．60（1+2x）＝360
D．60+60（1+x）+60（1+2x）＝360
9．（4分）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是yx2x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　）
A．2m B．6m C．8m D．10m
10．（4分）根据流程图中的程序，当输出数值y为4时，输入的数值x为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．6或2
11．（4分）如果关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程a有整数解，则符合条件的整数a的和为（　　）
A．1 B．2 C．6 D．7
12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题：（共4个小题，每题4分，共16分）
13．（4分）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+3x开口向上，那么a的取值范围是 　 　．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为 　 　．
15．（4分）若A（，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　 　．
三、解答题：（共9个小题，17-18题8分，19-25每小题8分，共86分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
18．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．
（1）求出A，B，C，的坐标，并在坐标系中画出二次函数的图象
A　 　，B　 　，C　 　；
（2）E（x1，y1），F（x2，y2）在二次函数图象上，若x1＞x2＞﹣1，则y1　 　y2；
（3）函数值y大于0时，自变量x的取值范围 　 　．
20．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A（1，1）和B（﹣1，﹣3），二次函数与一次函数y＝﹣x﹣2交于C，D两点，
（1）求二次函数的解析式．
（2）求三角形BCD的面积．
（3）结合图象直接写出不等式x2+bx+c＞﹣x﹣2的解集．
21．（10分）为响应政府“节能”号召，某照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个15元．某商场试销发现：销售单价定为20元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）设涨价x（元）时，每月销售量为y（个），求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得利润为w（元），当涨价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）二十大即将到来之际，某社区为了庆祝二十大的到来，计划购买A与B两种庆祝二十大贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张A，B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．
23．（10分）如果一个三位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：M＝321，∵3＝2+1，∴321是“沙磁数”．
又如：M＝534，∵5≠3+4，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”？并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若A﹣B能被11整除，求出所有满足条件的M．
24．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．
（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DFBE；
（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．
2022-2023学年重庆市綦江中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（共12个小题，每题4分，共48分）
1．（4分）下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3xy+4＝0 B．x3﹣x＝0
C．x2＝1 D．3x2﹣y＝20
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．2x2﹣3xy+4＝0，是二元二次方程，不符合题意；
B．x3﹣x＝0，是一元三次方程，不符合题意；
C．x2＝1，是一元二次方程，符合题意；
D.3x2﹣y＝20，是二元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
3．（4分）一元二次方程x2﹣5x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：x2﹣5x+9＝0，
∵Δ＝25﹣4×9＝﹣11＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，属于基础题型．
4．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，2），所以所得的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（4分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．
6．（4分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（4分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C错误；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
8．（4分）某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．60（1+x）2＝360
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝360
C．60（1+2x）＝360
D．60+60（1+x）+60（1+2x）＝360
【分析】根据该品牌网上专卖店1月份的营业额及平均每月的增长率，即可得出该品牌网上专卖店2月份的营业额为60（1+x）万元，3月份的营业额为60（1+x）2万元，再结合该品牌网上专卖店第一季度的总营业额共360万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，平均每月增长率为x，
∴该品牌网上专卖店2月份的营业额为60（1+x）万元，3月份的营业额为60（1+x）2万元，
又∵该品牌网上专卖店第一季度的总营业额共360万元，
∴可列出方程60+60（1+x）+60（1+x）2＝360．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（4分）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是yx2x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则x2x0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
答：该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键．
10．（4分）根据流程图中的程序，当输出数值y为4时，输入的数值x为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．6或2
【分析】分别把y＝4代入y＝x2和y＝x2+4x+8求出符合条件的x的值即可．
【解答】解：∵输出数值y为4，
∴当x2＝4时，x＝2或﹣2（舍去），
当x2+4x+8＝4时，x1＝x2＝﹣2符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了代数式求值，能够根据题意列出方程是解决问题的关键．
11．（4分）如果关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程a有整数解，则符合条件的整数a的和为（　　）
A．1 B．2 C．6 D．7
【分析】利用根与系数的关系得到a﹣3≠0且Δ＝42﹣4×（a﹣3）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣1且a≠3，通过去分母得到（a﹣1）x＝2a+2，再利用分式方程有整数解，则a﹣1≠0，所以x＝2，利用有理数的整除性得到此时整数a为2、0、3、﹣1、5、﹣3，然后利用分式方程中x﹣3≠0得到a≠5，最后确定符合条件的整数a的值，从而得到它们的和．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，
∴a﹣3≠0且Δ＝42﹣4×（a﹣3）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣1且a≠3；
把分式方程a去分母得x﹣（a﹣2）＝a（x﹣3），
整理得（a﹣1）x＝2a+2，
∵分式方程有整数解，
∴a﹣1≠0，
∴x2，此时整数a为2、0、3、﹣1、5、﹣3，
而x﹣3≠0，
∴a≠5，
∵a≥﹣1且a≠3；
∴符合条件的整数a为﹣1，0，2，它们的和为1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程．
12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵1，
∴2a+b＝0，故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴ab，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣b+c＞0，
∴3b﹣2c＞0，
故③错误；
根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b（m为实数）．
故④正确；
函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0不一定成立，故⑤错误，
正确的是①②④，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、填空题：（共4个小题，每题4分，共16分）
13．（4分）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+3x开口向上，那么a的取值范围是 　a＜2　．
【分析】由抛物线开口向上可得2﹣a＞0，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+3x开口向上，
∴2﹣a＞0，
解得a＜2．
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为 　﹣2　．
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
15．（4分）若A（，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　y3＜y1＜y2：　（用“＜”连接）．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，通过比较三点到对称轴的距离的大小判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x2，抛物线开口向下，
当B（﹣2，y2）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，
所以y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　4：3　．
【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总利润是总成本的25%列方程可得，从而解答此题．
【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，
由题意得：20% 2y x+30% a 3x+20% y 2x＝25%（2xy+3ax+2xy），
15a＝20y，
∴，
则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
三、解答题：（共9个小题，17-18题8分，19-25每小题8分，共86分）
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x﹣1）＝0求解；
（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，据此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
将方程变形，得（x+4）（x+4﹣5）＝0，
即x+4＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
（2）x2﹣2x﹣15＝0，
将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，关键是会利用因式分解法求解一元二次方程．
18．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b＝c时，Δ＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．
19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．
（1）求出A，B，C，的坐标，并在坐标系中画出二次函数的图象
A　（﹣3，0）　，B　（1，0）　，C　（0，3）　；
（2）E（x1，y1），F（x2，y2）在二次函数图象上，若x1＞x2＞﹣1，则y1　＜　y2；
（3）函数值y大于0时，自变量x的取值范围 　﹣3＜x＜1　．
【分析】（1）分别令x，y＝0，解方程求出A，B，C的坐标，并用五点法画出函数图象；
（2）根据函数图象结合函数性质求解即可；
（3）由函数图象直接得出结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）；
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），
用五点法画函数图象，如图：
故答案为：（﹣3，0），（1，0），（0，3）；
（2）由图象可知当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞﹣1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
（3）由图象可得，函数值y大于0时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是画出函数图象，用数形结合的思想解答．
20．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A（1，1）和B（﹣1，﹣3），二次函数与一次函数y＝﹣x﹣2交于C，D两点，
（1）求二次函数的解析式．
（2）求三角形BCD的面积．
（3）结合图象直接写出不等式x2+bx+c＞﹣x﹣2的解集．
【分析】（1）把A（1，1）和B（﹣1，﹣3）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出C，D坐标，再求出直线CD解析式，过点B作y轴的平行线，与CD相交与点E，根据点B是抛物线顶点，求出点E坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可；
（3）根据图象即可得出结论．
【解答】解（1）∵二次函数y＝x2+bx+c经过A（1，1）和B（﹣1，﹣3），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣2；
（2）联立方程组得，
解方程组得或，
∴D（0，﹣2），C（﹣3，1），
∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴顶点为（﹣1，﹣3），
∴点B为抛物线的顶点，
过点B作y轴的平行线，与CD相交与点E，如图所示：
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣2＝1﹣2＝﹣1，
∴E（﹣1，﹣1），
∴BE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴S△BCD2×3＝3；
（3）根据图象知x2+bx+c＞﹣x﹣2的解集为x＞0或x＜﹣3．
【点评】本题考查二次函数与不等式组，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是二次函数性质的应用．
21．（10分）为响应政府“节能”号召，某照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个15元．某商场试销发现：销售单价定为20元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）设涨价x（元）时，每月销售量为y（个），求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得利润为w（元），当涨价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）首先表示出销售单价x元时涨价（x﹣10）元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买10（x﹣15），表示出y即可；
（2）由总利润＝销售量 每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：y＝350﹣10x，
∵350﹣10x≥0，
∴x≤35，
∴自变量的取值范围为0≤x≤35，
∴y与x之间的函数关系为y＝350﹣10x（0≤x≤35）；
（2）由题意得：w＝（20+x﹣15）（350﹣10x）＝﹣10x2+300x+1750＝﹣10（x﹣15）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝15时，w有最大值，最大为4000，
答：涨价15元时，每月可获得最大利润，最大利润是4000元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
22．（10分）二十大即将到来之际，某社区为了庆祝二十大的到来，计划购买A与B两种庆祝二十大贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张A，B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．
【分析】（1）设计划购买a张A贴花，购买b张B贴花，根据题意可构造二元一次方程组，求解即可得出结论；
（2）根据题意可得出A种贴花的售价，B种贴花的售价和张数，根据“费用比原计划减少了（2000+10m）元”建立方程，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）设计划购买a张A贴花，购买b张B贴花，
根据题意可得：，
解得．
故计划购买400张A贴花，购买100张B贴花．
（2）根据题意可得出A贴花的售价为：15×（1）＝10（元），A贴花的张数为：（400m）张，
B种贴花的售价为：（30﹣m）元，B种贴花的张数为：（100m）张，
根据题意可得，10×（400m）+（30﹣m）（100m）＝9000﹣（2000+10m），
整理得15m2﹣120m＝0，
解得m＝0（舍）或m＝8．
故m的值为8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意得出一元二次方程，二元一次方程组是解题关键．
23．（10分）如果一个三位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：M＝321，∵3＝2+1，∴321是“沙磁数”．
又如：M＝534，∵5≠3+4，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”？并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若A﹣B能被11整除，求出所有满足条件的M．
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）设M，求得A、B，再根据为整数求得a、b的值，便可得出结果．
【解答】解：（1）∵8＝5+3，
∴853是“沙磁数”；
∵6≠3+2，
∴632不是“沙磁数”；
（2）设M，则A101a+1009b，
B1010a+90b+1，
∴A﹣B＝﹣909a+919b﹣1，
∵A﹣B能被11整除，
是整数，
∴是整数，
∵1≤b＜a≤9，a、b为整数，
∴a＝7，b＝1或a＝4，b＝3或a＝8，b＝4或a＝9，b＝7，
∴M＝716或431或844或972．
【点评】本题考查了新定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“沙磁数”的定义．
24．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
（3）本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；（1分）
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为：（2分）
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在中，令y＝0，
得方程
解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴
解这个方程组，得
∴AC的解析式为：（3分）
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
设，（4分）
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值（5分）
（3）如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴，
x2+3x﹣8＝0
解得或，
此时存在点和
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3），，．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
25．（10分）已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．
（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DFBE；
（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得结论．
（2）如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．证明△DGT是等腰直角三角形，再证明△DGF≌△TGC即可解决问题；
（3）如图2，过点G作GT⊥DG交DC的延长线于T，证明△DGT是等腰直角三角形，再证明△DGF≌△TGC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG；
（2）证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T，
∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∴DTDG，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DTDG，
由（1）可知：BE＝DG，
∴CD﹣DFBE；
（3）DC+DFBE，理由如下：
如图2，过点G作GT⊥DG交DC的延长线于T，
∵∠CDF＝∠CGF＝90°，
∴点D，点F，点G，点C四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠CDG＝∠T＝45°，
∴DG＝TG，
∴△DTG是等腰直角三角形，
∴DTDG，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠CGT，
又∵DG＝GT，GF＝GC，
∴△DFG≌△TCG（SAS），
∴DF＝CT，
∴DC+DF＝DTDG，
∴DC+DFBE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．

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