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(共36张PPT)
二倍角的正弦、余弦、正切公式
高一必修第一册
本节目标
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.
课前预习
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
预习课本P220～223，思考并完成以下问题
(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
课前小测
1．下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
B
sin215°＋cos215°＝1
2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝
cos215° sin215°＝cos 30°＝
2sin215°＝1 cos 30°＝1
2．sin 15°cos 15°＝______.
sin 15°cos 15°
＝ ×2sin 15°cos 15°
＝ sin 30°
＝
3. －cos2 ＝________.
－cos2
＝
＝
＝ －
4．若tan θ＝2，则tan 2θ＝________.
tan 2θ ＝
＝
＝
新知探究
cos(αα)＝cosαcosα sinαsinα
cos2α＝cos2α sin2α
＝cos2α (1cos2α)
＝2cos2α 1
＝(1sin2α) sin2α
＝12sin2α
sin(αα)＝sinαcosα cosαsinα
sin2α＝sinαcosα cosαsinα
tan(αα)＝
tanα tanα
1 tanαtanα
tan2α＝
2tanα
1 tan2α
二倍角公式推导
＝2sinαcosα
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α
cos2α－sin2α
cos2α＝___________
2. 余弦的二倍角公式的变形
1－2sin2α
cos2α＝cos2α sin2α
变形
sin2α=_________
变形
cos2α＝___________
2cos2α－1
cos2α=_________
(2) 1±sin 2α＝______________.
3．正弦的二倍角公式的变形
(1) sin αcos α＝sin 2α，cos α＝_________.
(sin α ± cos α)2
sin2α＝2sinαcosα
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　给角求值
[例1]　(1) cos cos cos 的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
D
∴cos cos cos ＝cos cos cos ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－
∵cos＝－cos ，cos ＝－cos ，
(2)求下列各式的值
①cos415°－sin415°；
②1－2sin275°；
cos415°－sin415°
＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)
＝cos215°－sin215°
＝cos 30°
＝
1－2sin275°
＝1－(1－cos150°)
＝cos150°
＝－ cos 30°
＝－
④ .
(2)求下列各式的值
③ ；
= 2×
= 2×
= 2×
= 2
=
=
=
=
=
2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
对于给角求值问题，一般有两类
1 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
归纳总结
跟踪训练
(2) .
1．求下列各式的值
(1) coscos；
coscos
题型二　给值求值、求角问题
[例2]　(1)已知cos＝， ≤α＜，求cos 的值；
∵ ≤α＜，∴ ≤α＋＜.
∵cos ＞0，∴ ＜α＋＜，
∴sin＝－＝－ ＝－，
∴cos 2α＝sin＝2sin cos ＝2×(－)× ＝－，
sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×()2＝ ，
∴cos ＝cos 2α－sin 2α＝ ×(－)－ × ＝－ .
[例2]　 (2)已知α∈()，且sin 2α＝sin ，求α.
∵sin 2α＝－cos ＝－[2cos2－1]＝1－2cos2 ，
sin ＝－sin ＝－cos[]＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈() ，
故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝ .
∴α＋∈ () ，
多维探究
变式1 已知cos＝， ≤α＜，求sin的值；
由例2(1)解析知
sin 4α＝2sin 2αcos 2α
＝2××(－)
＝－
变式2 已知s＝， ＜x＜，求的值；
∵0＜x＜，∴ －x∈(0, ).
又sin ＝ ，∴cos ＝ .
又cos 2x＝sin ＝2sincos＝2× × ＝ ，
cos ＝sin[]＝sin ＝ ，
∴原式＝ ＝ .
2 当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
cos 2x＝ sin ＝2sincos
类似的变换还有：
解决条件求值问题的方法
1 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
sin 2x＝ cos 等.
方法总结
cos 2x＝ sin ，
题型三　化简证明问题
[探究问题]
1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？
提示：通常要切化弦后再进行变形．
2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？
提示：由复杂一侧向简单一侧推导．
[例3]　(1)化简：＋ ＝________.
原式＝
＝
＝－
＝－tan 2θ
－tan 2θ
[例3]　(2)证明： ＝－4.
左边=
=
=
=
=
=右边
所以原等式成立.
2 证明恒等式的一般步骤
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
证明三角恒等式的原则与步骤
1 观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
归纳总结
跟踪训练
2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；
左边＝ －
＝
＝ (cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，
∴等式成立．
跟踪训练
2．求证： (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
法二
右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ(1－)＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
法一
左边＝cos2θ (1－)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
随堂检测
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　)
α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)
×
当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α
√
当cos α＝ 时，cos 2α＝2cos α
×
2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝ (2cos2x－1)＋＋1＝ cos 2x＋ ，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
B
3．设sin 2α＝－sin α，α∈(, )，则tan 2α的值是________．
∴tan 2α＝tan ＝tan ＝ .
∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈(, )知sin α≠0，∴cos α＝－，∴α＝ ，
4．已知＜α＜π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
所以tan α＝ ＝－.
因为cos α＝－， ＜α＜π，
所以sin α＝ ，
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝ .
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍； 是的二倍； 是的二倍； (n∈N*)．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？

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