资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题18 旋转模型之费马点型
1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
4．问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
5．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．
6．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
7．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
8．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
10．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
11．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
12．如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
13．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．
14．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题18 旋转模型之费马点型
1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
【答案】(1)150°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；
（2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．
（1）
解：∵，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，
∵32+42=52
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）
证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴，
∴，
又∵，
∴APD为等边三角形
∴，，
∴，
∴，
在△APC和△ADE中，
∴ (ASA)；
∴，
∵，
∴BE＝PA＋PB＋PC；
（3）
解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt△A′BC中，，
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，
∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【详解】【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
4．问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ cos45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
5．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．
【答案】
【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.
【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，
∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，
∴∠MAC=90°，
∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题
6．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【答案】
【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．
7．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
【答案】(1)①3；②150°；
(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值；
②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；
（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可．
(1)
①如图，将绕A逆时针旋转60°，
则，，
∴为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP与中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋转，∴；
(2)
如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，
在中，，
，
，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，
则，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题．
8．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【答案】+
【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=2，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB==CQ，NQ=，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+
10．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；
（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，即，
∴，
即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
11．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，
∴y＝（4 x）2＋x2＝2x2 8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x 2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
【答案】（1）见解析；（2）：；；（3）见解析
【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB
（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．
【详解】解：（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
而，
∴．
在与中，
∴．
（2）连接．由（1）知，．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小．
此时，：；．
（3）如图2，分别以的，为一边向外作等边和等边，连接，相交于M，则点M即为的费马点，由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
13．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．
【答案】（1）①证详见解析；②详见解析；（2）．
【分析】（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．证明△ADC≌△ABE（SAS）即可解决问题．
②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．证明△DAT≌△BAP（SAS），推出PD＝PA+PB即可解决问题．
（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．
【详解】（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．
∵△ADB，△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴ CD AM＝ BE AN，
∴AM＝AN，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠AOD＝∠POB，
∴∠OPB＝∠DAO＝60°，
∴∠APN＝∠APM＝60°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∴点P是就是△ABC费马点．
②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．
∵∠APT＝60°，PT＝PA，
∴△APT是等边三角形，
∴∠PAT＝60°，AT＝AP，
∵∠DAB＝∠TAP＝60°，
∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，
∴△DAT≌△BAP（SAS），
∴PB＝DT，
∴PD＝DT+PT＝PA+PB，
∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．
（2）如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3
∴MF＝DF＝，
∴NF＝MN+MF＝4＝，
∴ND＝＝＝，
∴MO+NO+GO最小值为，
故答案为，
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
14．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；
（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值为26；
（7）由可由（4）得的最小值为；
（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；
（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，
∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；
（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交BC延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑