资源简介

3.2.2　双曲线方程及性质的应用
【学习目标】
1．掌握直线与双曲线的位置关系．
2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．
【学习过程】
题型突破
题型一　直线与双曲线的位置关系
[例1]　已知直线l：y＝k(x－1)，双曲线x2－y2＝4，试讨论实数k的取值范围，使得
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
反思感悟
直线与双曲线交点个数问题的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要而不充分条件．
跟踪训练
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围为(　　)
A．(1,2)　　　　　　 B．(1,2]
C．(1，) D．(1， ]
2．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，求实数k的取值范围．
题型二　点差法求直线方程
[例2]　过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2 ＝4交于A，B两点，且AB被P平分，求直线AB的方程．
反思感悟
1．直线和双曲线相交所得弦长的两种求法
2．中点弦问题的两种处理方法
跟踪训练
3．经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程；
(2)求线段AB的长．
达标检测
1．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
本课小结
1．直线与双曲线的位置关系，可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，如果不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的关系．
2．弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点差法．
3．解题时要考虑直线斜率不存在的情形，相交弦或中点弦问题一定要保证相交．
参考答案
[例1]　[解析]　由消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)，
①即－②即k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点；
③即k<－或k>时，直线与双曲线无公共点．
综上所述，(1)当k∈(－, －1)∪(－1,1)∪时，直线与双曲线有两个公共点；
(2)当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
(3)当k∈∪时，直线与双曲线没有公共点．
跟踪训练
1．答案：B
解析：因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以12．解：将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后整理，得
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故解得－2故实数k的取值范围为(－2，－)．
[例2]　[解析]　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
两式相减，得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴＝.
又∵x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝2，
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
即2x－y－15＝0.
跟踪训练
3．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程，得
x－＝1，x－＝1，
两式相减，得x－x－＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，
∴4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，
∴kl＝＝4，∴l的方程为y－2＝4(x－2)，
即y＝4x－6.
(2)将y＝4x－6代入到x2－＝1中，得
3x2－12x＋10＝0，
故x1＋x2＝4，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝.
达标检测
1．答案：B
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
2．解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.
由题意又有·＝，可得
a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简，得
λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
∴λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

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