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3.3.2　抛物线的简单几何性质
【学习目标】
1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用，会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．
2．掌握直线与抛物线位置关系的判断，掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识，掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P134～137，思考并完成以下问题
1．抛物线有哪些几何性质？
2．抛物线上任意一点与抛物线焦点的距离有什么规律？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴(　　)
(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝(　　)
2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．0
C．2或0 D．－2或2
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
4．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.
三、新知探究
抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
[说明]　抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
y2＝ax 一次项为x项，x轴为对称轴 a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay 一次项为y项，y轴为对称轴 a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
四、题型突破
题型一　抛物线方程及其几何性质
[例1]　 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
反思感悟
用待定系数法求抛物线方程的步骤
[注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程
跟踪训练
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　　 B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
2．已知点M(x，y)在抛物线y2＝8x上，则f(x，y)＝x2－y2＋12x＋9的取值范围为________．
题型二　焦点弦问题
[例2] 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
反思感悟
(1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
④＋＝；
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.　
跟踪训练
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．10
4．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
题型三　直线与抛物线的位置关系
[例3] 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
反思感悟
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．　
跟踪训练
5. 过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
五、达标检测
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
2．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2　　　B．2　　　C．2 　　　D．4
3．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
六、本课小结
1．在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
对称轴 x轴和y轴
对称中心 (0,0) (0,0) 无
顶点 4个 2个 1个
焦点 2个 2个 1个
准线 不研究 不研究 1条
渐近线 无 2条 无
离心率 e∈(0,1) e∈(1，＋∞) e＝1
2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响
因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
3．抛物线的图象具有的特征
抛物线是轴对称图形．其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称，即若准线与对称轴的交点为M，则O为MF的中点．
4．点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系
(1)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部 y<2px0.
(2)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上 y＝2px0.
(3)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外部 y>2px0.
5．抛物线的焦半径
(1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段．
(2)抛物线的焦半径公式.
抛物线y2＝2px(p>0) |PF|＝＝＋x0
抛物线y2＝－2px(p>0) |PF|＝＝－x0
抛物线x2＝2py(p>0) |PF|＝＝＋y0
抛物线x2＝－2py(p>0) |PF|＝＝－y0
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√　(2)×
2．答案：B
3．答案：B
4．答案：4
题型突破
[例1]　[解]　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
跟踪训练
1．解析：选C　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
2．解析：f(x，y)＝x2－8x＋12x＋9＝(x＋2)2＋5，又x∈[0，＋∞)，所以当x＝0时，f(x，y)取得最小值9.所以f(x，y)的取值范围为[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
[例2] [解]　由于抛物线的焦点F，
故可设直线AB的方程为x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
跟踪训练
3．解析：选C　由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4．解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.　①
由消去y，得2＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
[例3] [证明]　由消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝
x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
跟踪训练
5. 解：显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，
由消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由即得k＝或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
达标检测
1．答案：±1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，过P(－1,0)的直线l方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线y2＝4x得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，求得x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝k(x0＋1)＝，F(1,0)，根据两点间距离公式得2＋2＝4，解得k＝±1.
2．答案：C
解析：设点P(x0，y0)，则点P到准线x＝－的距离为x0＋，由抛物线定义，得x0＋＝4，x0＝3，则|y0|＝2，故△POF的面积为××2＝2.
3．解：(1)如图，
设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，
则H是MN的中点，
∴|O1M|＝，又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
即(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)．
∴直线l过定点(1,0)．

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