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1.1.1空间向量及其线性运算
【本节目标】
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理，并能熟练应用.
【本节重点】
空间向量的线性运算.
【本节难点】
共线向量定理和共面向量定理的应用.
【课前预习】
1.空间向量的概念及几类特殊向量
名称 定义
空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______
单位向量 长度或模为______的向量
零向量 ______的向量
相等向量 方向______且模______的向量
相反向量 ______相反且______相等的向量
2.空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的_______表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为__________.
3.空间向量的加、减法运算、数乘运算
(1) a＋b=＋＝________；
(2) a- b＝－＝________.
(3)数乘λa(a≠0)
大小：|λa|=_________.
方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向_________；
当λ<0时，λa的方向与a的方向__________；
当λ=0时，λa=0
运算律：
交换律 a＋b＝_________；结合律(a＋b)＋c＝________________.
分配律λ(a＋b)＝_______________，(λ＋μ)a＝____________________.
4.共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.
5.方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的____________成为直线l的方向向量.也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定.
6.共面向量
定义：平行于________________的向量叫做共面向量.
①证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
②对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥，或∥).
【小试牛刀】
1.判断正错
(1)零向量没有方向．( )
(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )
(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )
(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )
(5)任何两个向量均不可以比较大小( )
2.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A. a＋b－c B.－a－b＋c
C.－a＋b＋c D.－a＋b－c
【典例剖析】
题型一 空间向量概念
注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
例1　给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD A1B1C1D1中，＝；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＋＝.
其中正确命题的序号是________.
[跟踪训练]
1.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
2.如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有___________；与向量相反的向量有_________________.(要求写出所有适合条件的向量)
题型二 空间向量的线性运算
注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；
2.要注意数形结合思想的运用.
例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
[跟踪训练]
如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
题型三 向量的共线及判定
例3 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.
注意：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：
(1)＝m；(2)＝＋λ；(3)＝n＋(1－n).
[跟踪训练]
在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋是否共线．
题型四 向量共面
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.
[跟踪训练]
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面.
【随堂检测】
1.下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；
④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为(　　)
A.1 B.2　　　　C.3　　　　D.4
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
4．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．－a＋b－c
5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．
6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
7.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
参考答案
【课前预习】
1.大小　方向　长度或模　1　长度为0　相同　相等　方向　模
2.长度 |a|或||
3. |λ||a| 相同 相反 b＋a a＋（b＋c） λa＋λb λa＋μa
4. (1)互相平行或重合　共线向量　 (2)a＝λb
5. 非零向量
6. 同一个平面
【小试牛刀】
1. 答案： × × × × √
2. 答案：C
解析：与向量相等的向量有，，共3个.
3. 答案：C
解析：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.
【经典例题】
例1. 答案：①②
解析：(1)①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.综上可知，正确命题为①②.
[跟踪训练]
1. 答案：D
解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
2. 答案：，， ，，，
解析：根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.
与向量相反的向量有，，，.
例2. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
[跟踪训练]
解：(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝1.
例3.证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三点共线．
[跟踪训练]
解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点．
∴＝，＝.
又∵E、F、G三点共面，
∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．
例4. 证明：分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM，
因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
所以＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋(－)＝(＋).
又＝－＝－＝.
所以＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.
[跟踪训练]
解析： 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.同理＝＋.
所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.
【随堂检测】
1.答案：C
解析：①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确.＋＝0，得＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误.由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
2. 答案：D
解析：向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.
3．答案：D
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝．
4. 答案：B
解析：＝－＝ (＋)－ ＝－a＋b＋c．
5.解：①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的相反向量有，，，.
6. 解：＝＋＝＋＝＋(＋＋)
＝＋＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
7. 解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝＝(－)＝＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
8.解：如图：
(1)由已知，得＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－.
∴向量，，共面.
(2)由(1)知，向量，，共面，表示三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，∴点M在平面ABC内.

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