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直线与椭圆的位置关系 专题过关
一、单选题
1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
5．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
7．已知F是椭圆的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
10．若直线l被圆所截得的弦长不小于，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是（ ）
A． B． C． D．
11．已知P是椭圆上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为，，若的最小值为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的方程为
B．椭圆E的离心率为
C．曲线经过E的一个焦点
D．直线与E有两个公共点
12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线的斜率为 D．
三、填空题
13．当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
14．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
15．已知，则的最值为_________.
16．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．
四、解答题
17．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.
19．设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．
20．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
21．已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（1）求的值；
（2）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
22．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．
答案
一、单选题
1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【解析】 设,则,
点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是：
设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得，，，，
当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是.
故选：
2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.故选：A.
3．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】联立椭圆方程与直线方程，得，，
，，，，
中点坐标：，中点与原点连线的斜率．故选：A
4．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.故选：D
5．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设与直线平行的直线：，
联立，消可得，
，解得，所以所求直线为或，
直线与直线的距离为.
直线与直线的距离为.
所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为，故选：C
6．直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
【解析】联立直线和椭圆，可得，
解得或，则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，故选：B
7．已知F是椭圆的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆的方程可得，，所以，
所以下焦点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
设，，联立，整理可得：，
可得：，，
所以，
设，则，
因为，所以单调递增，所以，所以，故选：C.
8．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【解析】由知椭圆焦点在x轴上，故，，椭圆方程为，
设，则B在直线上，，，
联立，化简得，则，，
则的面积为
，解得，故选：C.
二、多选题
9．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，则，得，
，，D错误.
故选：BC.
10．若直线l被圆所截得的弦长不小于，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线l的方程为，
由题知，圆M的圆心到直线l的距离为，
对于A，∵抛物线，开口向右，顶点在原点，
∴取直线l为，易知直线与抛物线无交点，故A错误.
对于B，满足到圆M的圆心距小于等于1的点的轨迹为单位圆围成的封闭区域，直线l一定过这个单位圆内的一点，椭圆的，，所以单位圆一定在椭圆内部，故直线l一定与椭圆相交，故B正确.
对于C，双曲线的顶点坐标为，开口向左右两边，同样取直线l为，易知直线与双曲线无交点，故C错误.
对于D，单位圆圆心到圆的圆心的距离为1，小于两圆半径差，故两圆呈内含关系，直线l一定过圆内一点，故直线l一定与圆相交.故D正确.
故选：BD.
11．已知P是椭圆上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为，，若的最小值为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的方程为
B．椭圆E的离心率为
C．曲线经过E的一个焦点
D．直线与E有两个公共点
【解析】设，则，
所以.
于是，
当且仅当时取等号，依题意，得，解得，
故E的方程为，A正确；
离心率为，B错误；
焦点为，曲线经过焦点，C正确；
直线过点，且点在E内，
故直线与E有两个公共点，D正确.
故选：ACD.
12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线的斜率为 D．
【解析】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.
故 A正确.
对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.
对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.
对D, 设则.
又由C可知直线的斜率为,故.所以.
故.故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
【解析】直线过定点，因为直线与椭圆总有公共点，
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即，且，解得且，
故答案为：且
14．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，
因为AB的中点横坐标为2，所以，
所以，则.
15．已知，则的最值为_________.
【解析】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.
即，解得.
椭圆上任意一点均满足.
由，
得的最大值为，最小值为.
16．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．
【解析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．
当为椭圆的右顶点时，最小，此时，
此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，
同理可得的最大值为2，即的取值范围是．
四、解答题
17．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
【解析】（1）因为椭圆经过点，离心率为，
所以，，因为，所以得，
所以椭圆方程为，
（2）设直线l为，设，
由，得，由，得，
由根与系数的关系得，因为
所以，
解得，所以直线的方程为或
18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.
【解析】（1）方法一：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
设椭圆的方程为：，因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，，所以椭圆的方程为.
方法二：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）当直线与x轴重合时不满足题意；
当直线与x轴不重合时，设直线方程为，由，
消化简得，设，得，
因为弦中点在直线，所以解得，
所以直线的方程为或.
19．设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．
【解析】（1）设F(－c，0)，由，知．
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，
解得，于是，解得，又，从而，c＝1，
所以椭圆的方程为．
（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A(，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．
由已知得，解得k＝．
20．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上，
则有，解得，，所以椭圆的标准方程为；
（2）显然点为椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y并整理得：，
设，，则，，
于是得，
而，则线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点，
当时，，，则，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，则有，于是得，
当直线的斜率不存在时，，取或能满足，
综上所述，存在实数满足题意.
21．已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（1）求的值；
（2）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
【解析】（1）由椭圆的方程可得，，
由题意可得，解得或．
当时，点，都在直线的下方，不符合题意，
故．
（2）联立消去可得，
设，，则，．
直线与的斜率之和
．
因此直线与的斜率之和为定值．
22．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．
【解析】（1）由圆的面积为，可得，即；
又椭圆的右焦点为，故，
联立方程组，解得，所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，
联立方程组，整理得，
解得，，所以，
而圆心到直线的距离，，
所以，
当且仅当，即时取等号；
当直线的斜率不存在时，，可得，
当直线的斜率为0时，重合，与题意不符。

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