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导数与函数的单调性
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性； 对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 导数与函数的单调性． 1.逻辑推理．
2.直观想象．
3.数学运算．
课前自测
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)＞0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
×
√
2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
<0
D
f(x)＝cos x－x
f ′(x)＝－sin x－1
f(x)在(0，π)上是减函数
3．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在区间(2，3)上f(x)是减函数
C．在区间(4，5)上f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上f(x)是增函数
在(4，5)上f ′(x)>0恒成立
f(x)在(4，5)上是增函数
在(2，3)上f ′(x)<0恒成立
f(x)在(2，3)上是减函数
BC
4．(易错题)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
故f(x)的单调递减区间为(0，1)．
函数的定义域是(0，＋∞)，
且f ′(x)＝1－ ＝ ，
令f ′(x)<0，得0(0，1)
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
f ′(x)＝3x2－a
由题意知f ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，
又x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，
所以a≤3，即a的最大值是3.
3
考点梳理
函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f ′(x)＞0 f(x)在(a，b)内___________
f ′(x)<0 f(x)在(a，b)内___________
f ′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是_________
单调递增
单调递减
常数函数
理清三组关系
3．对于可导函数f(x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
常用结论
1．“在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒为零．
常见误区
2．由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f ′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f ′(x)>0(<0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验．
1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．
!
典例剖析
考点
1
判断(证明)函数的单调性
则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0.
f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝ .
若a>0，
故f(x)在(－∞，0)， 上单调递增，在上单调递减．
[例1] (2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．
典例剖析
考点
1
判断(证明)函数的单调性
f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝ .
[例1] (2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．
若a＝0，
则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a<0，
则当x∈ (－∞， ) ∪(0，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈ 时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞， ) ，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
方法总结
(3) 利用f ′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f ′(x)，并求方程f ′(x)＝0的根；
讨论函数f(x)单调性的步骤
研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　
注意
跟踪训练
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
f ′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f ′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间．
D
2．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性．
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ －a.
若a≤0，则f ′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f ′(x)>0；当x∈ 时， f ′(x)<0，
考点
2
求函数的单调区间
所以f ′(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[例2] (2021·东北三校第一次联考)已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ ax2－x(a∈R)．设f ′(x)为函数f(x)的导函数，求函数f ′(x)的单调区间．
由已知得，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x)＝ln(x＋1)－ax.
令h(x)＝f ′(x)＝ln(x＋1)－ax，则h′(x)＝ －a.
当a≤0时，h′(x)>0，
所以f ′(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．
当a>0时，令h′(x)>0，得－1 －1，
方法总结
(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x)的符号，从而确定单调区间．
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x)＞0或f ′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f ′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x)的符号，从而确定单调区间．
利用导数求函数单调区间的方法
所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
易错提醒
1．已知a为实数，f(x)＝ax3＋3x＋2，若f ′(－1)＝－3，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－ ， ) B．
C．(0， ) D．
跟踪训练
则函数f(x)的单调递增区间为.
因为f(x)＝ax3＋3x＋2，则f ′(x)＝3ax2＋3.
又f ′(－1)＝3a＋3＝－3，解得a＝－2，
故f ′(x)＝－6x2＋3.
由f ′(x)>0得－B
故函数f(x)的单调递增区间是和.
2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是____________________．
f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f ′(x)＝xcos x>0(x∈(－π，π))，
解得－π和
考点
3
函数单调性的应用
角度一　比较大小
[例3] 已知奇函数f(x)的导函数为f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f(x)>0，若a＝ ，b＝－ef(－e)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a[例3] 已知奇函数f(x)的导函数为f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f(x)>0，若a＝ ，b＝－ef(－e)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a因为f(x)为奇函数，所以－ef(－e)＝ef(e)，所以b>c>a.
令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝f(x)＋xf ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以g(x)为(0，＋∞)上的增函数．
又因为e>1>，所以g(e)>g(1)>g，所以ef(e)>f(1)>.
C
方法总结
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．　
角度二　解不等式
[例4] 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf ′(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
在(－1，1)上，f(x)单调递减，所以f ′(x)<0，使xf ′(x)<0的范围为(0，1)．
在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)单调递增，所以f ′(x)>0，
使xf ′(x)<0的范围为(－∞，－1)；
综上所述，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
A
方法总结
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数．题目中存在消去f(x)与f ′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．　
角度三　已知函数单调性求参数的取值范围
[例5] 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
所以当x∈(0，＋∞)时， －ax－2<0有解．
所以a＞－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．
[例5] 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
h(x)＝ln x－ ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝ －ax－2，
由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
即a＞ － 有解，
设G(x)＝ － ，
所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝ －1，所以G(x)min＝－1.
[例5] 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0)．
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝ －1，
即a的取值范围是.
由h(x)在[1，4]上单调递减得，
当x∈[1，4]时，h′(x)＝ －ax－2≤0恒成立，即a≥ － 恒成立．
设G(x)＝ － ，
因为x∈[1，4]，所以∈ ，
所以G(x)max＝－ (此时x＝4)，
所以a≥－ ，
变式探究
所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
1．(变条件)本例条件变为：若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围．
由h(x)在[1，4]上单调递增得，当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立，
所以当x∈[1，4]时，a≤ － 恒成立，
又当x∈[1，4]时，(－ )min＝－1(此时x＝1)，
2．(变条件)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
所以a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．
h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则h′(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a> － 有解，
又当x∈[1，4]时， (－ )min ＝－1，
方法总结
(3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．　
(1) 由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f D．f >f >f(1)
跟踪训练
所以f >f(1)>f .
A
因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)．
所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .
又x∈时，得f ′(x)＝sin x＋xcos x>0，
所以f(x)在上是增函数．
所以f 2．若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在区间[m，m＋4]上是单调函数，则实数m的取值范围是_______________________．
所以f(x)在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，
则实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)．
因为f(x)＝2x3－3x2－12x＋3，
所以f ′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，
令f ′(x)>0，得x<－1或x>2；令f ′(x)<0，得－1在[－1，2]上单调递减．
若f(x)在区间[m，m＋4]上是单调函数，
则m＋4≤－1或或m≥2.
所以m≤－5或m≥2，
(－∞，－5]∪[2，＋∞)
随堂训练
所以f(e)>f(3)>f(2).
f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f ′(x)＝ ，
令f ′(x)＝0，得x＝e.
所以当x∈(0，e)时，f ′(x) >0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝ ，
而f(2)＝ ＝ ，f(3)＝ ＝ ，
1．已知f(x)＝ ，则(　　)
A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)
D
综上所述，函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．
由题可得，f ′(x)＝2x－5＋＝(x>0)．
令f ′(x)＝ ＝ >0(x>0)，
解得x>2或02．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是__________________．
和(2，＋∞)
3．函数f(x)＝ln x－ 为________函数．(填“增”或“减”)
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝ln x－ ，
所以f ′(x)＝ ＝ .
因为x>0，所以4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.
所以当x>0时，f ′(x)>0.
增
由题意知，f ′(x)>0在上有解，
所以a的取值范围是.
4．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_____________．
对f(x)求导，得f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋ ＋2a.
当x∈ 时，f ′(x)的最大值为f ′＝ ＋2a.
令＋2a>0，解得a>－ ，
当x＝ 时，得a＝f ′＝3×＋2a× －1，
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝.
(1)求a的值；
由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f ′(x)＝3x2＋2ax－1.
解得a＝－1.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝.
(2)求函数f(x)的单调区间．
由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，
则f ′(x)＝3x2－2x－1＝3 (x－1)，
令f ′(x)>0，解得x>1或x<－ ；
令f ′(x)<0，解得－ 所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，
f(x)的单调递减区间是.
本课小结
利用导数研究函数的单调性仍然是高考的热点，高考主要考查求函数的单调区间，讨论函数的单调性，利用函数的单调性求极值、最值，知道函数的单调性求参数的取值范围等问题，考查形式选择题、填空题、解答题均有可能，以中档难题为主.

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