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第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
学案
一、学习目标
1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；
2. 掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.
二、基础梳理
1.等比数列的前n项和公式：当时， 或.
2.等比数列的前n项和的性质
（1）当q=1时，，当时，.
（2）.
（3）设与分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n，则，若项数为2n+1，则.
（4）当时，连续m项的和（）仍成等比数列，公比为，注意：连续m项的和必须非零才能成立.
三、巩固练习
1.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，则使成立的n的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知数列为等比数列，，，且第m项至第项的和为112，则的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
3.记为数列的前项和,已知和 (为常数)均为等比数列,则的值可能为( )
A. B. C. D.
4.5个数依次组成等比数列,且公比为,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )
A. B. C. D.
5.已知是等比数列的前项和,若存在,满足,则数列的公比为( )
A. B.2 C. D.3
6.已知等比数列的公比,前100项的和,则( )
A.15 B.30 C.45 D.60
7.（多选）已知等比数列的公比为q，其前n项的积为，且满足，，，则以下结论正确的是( )
A.
B.
C.的值是中最大的
D.使成立的最大正整数数n的值为198
8. （多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.是数列中的最大值 D.数列无最大值
答案以及解析
1.答案：D
解析：设等比数列的公比为q，
由题意可知当时，；
当时，，
.
，，
，
，，n的最大值为8，故选D.
2.答案：B
解析：由已知，得，即，则，解得，所以，故选B.
3.答案：C
解析：若公比,则不可能为等比数列,因此,此时,只需即可.A选项,的首项为0,不满足题意；B选项, ,即不成立；C选项,,即,该方程必然有解,成立；D选项,,即,不成立.
4.答案：C
解析：由题意可设这5个数分别为,其中,故奇数项和与偶数项和的比值为,故选C.
5.答案：B
解析：设数列的公比为,若,则,与题中条件矛盾,故...
6.答案：D
解析：,设,则,,故.故选D.
7.答案：ABD
解析：，，.，，又，.故A正确.由A选项的分析可知，，，，，故B正确，C不正确. ，，使成立的最大正整数数n的值为198，故D正确.
8.答案：AC
解析：由题意，得，，所以，等比数列是各项都为正数的递减数列，即.因为，所以，故A正确；因为，所以，即，故B错误；根据，可知是数列中的最大项，故C正确，D错误.故选AC.
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