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第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
学案
一、学习目标
1.理解“1弧度的角”的含义，了解弧度制的概念，了解弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系.
2.能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数.
3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.
二、知识归纳
1.角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.
2.弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3.单位圆：半径为1的圆叫做单位圆.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为，那么.
4.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是0.
5.角度与弧度的换算：；；.
6.特殊角的度数与弧度数：
度
弧度 0
7.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，.
三、习题检测
1.把化成角度是( )
A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°
2.半径为3，圆心角为的扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
3.若，则的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形的半径为( )
A.4 B.1 C. D.2
5.下列结论错误的是( )
A.化成弧度是 B.化成度是-600°
C.-150°化成弧度是 D.化成度是15°
6.（多选）下列给出的各角中，与终边相同的角有( )
A. B. C. D.
7.把角-690°化为的形式为___________.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧AB及其所对弦AB围成的图形.若弧田的弧AB长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是_________.
9.已知，，，.
（1）将，化成弧度，并分别指出它们的终边所在的象限；
（2）将，化成角度，并在内分别找出与它们终边相同的所有角.
10.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r.
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为16，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：.故选B.
2.答案：C
解析：因为扇形的半径，圆心角，所以扇形的弧长.故选C.
3.答案：C
解析：，角的终边在第三象限. 故选C.
4.答案：D
解析：扇形的圆心角，设扇形的半径为R，面积为S，
则，解得（负值舍去）.故选D.
5.答案：C
解析：对于A，，结论A正确；
对于B，，结论B正确；
对于C，，结论C错误；
对于D，，结论D正确. 故选C.
6.答案：ABD
解析：与终边相同的角记为，则，，当时，，故A正确；当时，，故B正确；令，解得，故C错误；当时，，故D正确.故选ABD.
7.答案：
解析：法一：，
因为，所以.
法二：，则.
8.答案：；
解析：如图，弧AB长为，弧所在的圆的半径为6，.过点O作，垂足为D.可得，，，，∴弧田的面积.
9.解析：（1），
，
故，，的终边在第二象限，的终边在第一象限.
（2），.
设，，
令，，
即，
，
得或，.
故在内，与终边相同的角是和，与终边相同的角是.
10.解析：（1）设扇形的半径为r，弧长为l.
，，.
（2）由题设条件知，，，
因此扇形的面积，
当时，S有最大值16，此时，，
当时，扇形的面积最大，最大面积是16.
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