资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
3.1.2　椭圆的简单几何性质
【考点梳理】
考点一　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\LA9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\LA9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\LA9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\LA10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\LA10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\LA10.TIF" \* MERGEFORMATINET
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
思考　离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
答案　e＝，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
考点二　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
【题型归纳】
题型一：椭圆的简单几何性质
1．已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
2．椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
题型二：由椭圆的几何性质求标准方程
4．椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：求椭圆的离心率
7．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
题型四：直线与椭圆的位置关系
10．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
11．已知，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能
12．已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五：弦长问题
13．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
14．一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．3 B．6 C． D．
15．过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A． B． C． D．
题型六：中点弦问题
16．已知斜率存在的直线l与椭圆交于A，B两点，且l与圆切于点P.若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
17．过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
18．椭圆与直线相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则=（　　）
A． B． C． D．2
【双基达标】
19．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
23．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．椭圆与(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
29．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
30．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
31．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
32．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A． B． C．± D．±
33．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆：的直径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
34．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
36．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
37．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
38．已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
39．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A． B． C． D．
42．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
43．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
44．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A． B．
C． D．
45．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
46．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
47．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
三、填空题(共0分)
48．椭圆的焦点坐标是______．
49．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
50．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
51．椭圆离心率为，直线与椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_______．
52．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．
53．已知 是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.
四、解答题
54．设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围．
55．已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为k的直线与椭圆交于不同两点，，记,的斜率分别为 .
①求的值；
②设点，若点到直线,的距离相等，求的值.
56．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.
(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.
57．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
58．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点．
参考答案
1．D
【分析】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.
【详解】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
故选:D．
2．A
【分析】先将椭圆方程化为标准方程，再由焦点可知椭圆的值，再利用即可求得值.
【详解】由得，
又因为椭圆的一个焦点是，所以，，
又，所以，解得，
故.
故选：A.
3．C
【分析】根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长.
【详解】因为椭圆的方程为，
所以，，，
又椭圆的离心率为
所以，解得，
所以,
所以椭圆E的长轴长为．
故选：C.
4．B
【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程.
【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以，
所以该椭圆的标准方程为.
故选：B.
5．A
【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
【详解】依题意可知且椭圆焦点在轴上，
由于椭圆过点，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
故选：A
6．D
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
7．C
【分析】由题意结合向量可得a，b，c之间的关系，进而求出离心率．
【详解】由题意可知：椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，则有，
∵，则，即，
则，解得或（舍去），
故选：C.
8．C
【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.
【详解】由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
9．D
【分析】由条件结合双曲线定义可得，，结合三角函数定义列关于的不等式，由此可求离心率的范围.
【详解】∵，
∴是以为底的等腰三角形，，
过作交于，则，
所以，
∵，∴，
∴，
即，解得．
∴该椭圆的离心率的取值范围是．
故选：D．
10．D
【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.
【详解】因为直线和圆没有交点，
可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.
故选：D.
11．A
【分析】结合题意得直线过定点，再结合点在椭圆内部即可判断.
【详解】解：因为，所以直线可化为，
所以，直线过定点，
因为点在椭圆内部，
所以，直线与椭圆的位置关系是相交.
故选：A
12．C
【分析】求与直线l平行的椭圆的切线，结合图形进行判断.
【详解】设直线：与椭圆相切，联立，得，
整理得，则该方程有且只有一个解，
由，得或，
所以的方程为或，
易知直线与直线l的距离为，
直线与直线l的距离为，
所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点，
在直线l的左侧不存在符合条件的P点，故符合条件的点P有2个．
故选：C．
13．C
【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．
故选：C.
14．B
【分析】已知直线与椭圆的一个交点为，可求得其与原点的距离，根据对称性可知，直线被椭圆截得的弦长为两交点分别与原点的距离之和，从而得出答案.
【详解】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为，
则根据对称性可知两点关于原点对称，即，
而
直线被椭圆截得的弦长为,所以.
故选：B.
15．A
【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，
，即可求出.
【详解】由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
16．C
【分析】利用点差法，结合点的坐标满足圆方程，以及与直线垂直，联立方程组求得点的坐标，即可求得直线的斜率.
【详解】设点的坐标分别为，
则：，作差后可得：，
即：；
又因为直线与直线垂直，故可得，
与联立后可得：，解得，
又因为点在圆上，故可得：，解得，
则，即直线的斜率为或.
故选：C.
17．B
【分析】由已知可得，M是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法.
【详解】设，
∵ ∴M是线段AB 的中点
由中点坐标公式可得， ①
又在椭圆上，

两式作差得，
将①式代入，可得：.
所以，直线的斜率为.
故选：B.
18．A
【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用，解出．
【详解】解：设
∴
由AB的中点为M可得①，②
由A．B在椭圆上，可得
两式相减可得③，
把①②代入③可得
整理可得．
故选：A
19．A
【解析】由椭圆方程判断出焦点位置，求出，从而可得答案.
【详解】因为椭圆的标准方程为，
所以其焦点在轴上，且，
则，
所以椭圆的焦点坐标是，
故选：A.
20．B
【分析】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.
【详解】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
故选：B.
21．A
【分析】由椭圆的几何性质求解
【详解】由椭圆的几何性质知当点在短轴顶点时，最大，设短轴顶点为B，则，得，
故选：A
22．A
【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
23．A
【解析】延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.
【详解】如图，
延长与交于点，则是的角平分线，
由可得与垂直，
可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，
则为的中位线，故，
由于，所以，
所以，
问题转化为求的最值，
而的最小值为，的最大值为，即的值域为，
故当或时，取得最大值为
，
当时，在轴上，此时与重合，
取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.
24．A
【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.
【详解】图所示，易知，．
由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．
故选：A.
25．A
【分析】由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.
【详解】因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
26．B
【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
因为，
所以，即，
故选：B
27．B
【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答本题．
【详解】由题意得，2
．
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点关于直线l：的对称点为．
则，解得，．
则．
．
当时，椭圆有最大离心率．
此时，．
故选：B．
28．D
【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．
显然只有D正确．
故选：D
29．C
【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
30．A
【分析】设椭圆方程为，解方程组即得解.
【详解】解：设椭圆方程为，
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：A.
31．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
32．C
【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】解：因为直线与椭圆相切，
所以已知直线与椭圆有且只有一个交点，
所以联立方程消去并整理，得，
所以，解得：.
故选：C
33．B
【分析】求得圆的半径，由此求得，结合椭圆离心率求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.
【详解】依题意可设椭圆的标准方程为，半焦距为，
由，半径为4，
故有，又，，
.
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
34．C
【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C
35．D
【分析】利用椭圆的定义即可求解.
【详解】设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
36．D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
37．C
【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
38．D
【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.
【详解】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
39．C
【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
40．D
【分析】画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．
【详解】解：由题意，如图，
若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，
即，因为，
解得：．
，即，而，
，即．
故选：D．
41．D
【分析】由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆的焦点在轴上，且，得出椭圆的焦点坐标为：，依次判断各个选项即可.
【详解】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；
对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；
故答案为：D.
42．D
【解析】首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
43．C
【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.
【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
44．ACD
【分析】根据椭圆的对称性可得出合适的选项.
【详解】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
故选：ACD.
【点睛】本题考查直线截椭圆的弦长问题，考查椭圆对称性的应用，属于基础题.
45．AB
【分析】根据椭圆的离心率相等可得所以，可判断B；再由可判断A；设，可判断C；根据可判断D.
【详解】依题意，，即，
所以，所以，因此B正确；
又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．
故选：AB．
46．ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
47．BCD
【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误.
【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
48．，
【分析】分与两种情况进行求解.
【详解】当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为；
当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为
故答案为：，
49．
【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.
【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，
于是得，
因，则当时，，
所以的最大值为.
故答案为：
50．
【分析】根据线段的垂直平分线及锐角三角函数，再利用椭圆的定义，结合椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：
51．
【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率；
【详解】解：因为椭圆离心率为，所以，所以
设，，所以，，因为，在椭圆上，所以，两式作差得，即，即，即，所以
故答案为：
52．6
【分析】先由判断出四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将点代入椭圆及圆，即可求出，即可求得短轴长.
【详解】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，
又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，
故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，
又，解得，则，故短轴长为.
故答案为：6.
53．
【解析】根据题意作出图示，求解出的长度，然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率.
【详解】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.
因为，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.
54．(1)
(2)．
【分析】（1）设，表示出，，再根据数量积的坐标表示及二次函数的性质求出，从而求出，即可得解；
（2）设的方程为，、，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设的中点为，依题意可得，即，即可得到，从而求出参数的取值范围.
（1）
解：设，则有，，
，，
由题意可得，解得或（舍去），
所以，所以椭圆C的方程为．
（2）
解：由（1）得，设的方程为，代入，
消元整理得，
设、，则，，
所以，
设的中点为，则，
因为，所以，即，
所以，所以，
因为直线不与坐标轴垂直，所以，
所以，解得．
55．(1)
(2)①1；②或
【分析】（1）利用离心率和椭圆过点两个已知条件联立方程组求解；
（2）设直线的方程为，联立椭圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出；由点到直线,的距离相等，代入点到直线的距离公式即可求解.
(1)
由得，即，
由椭圆过点得，
解得，，
故椭圆的方程为.
(2)
①设直线的方程为，且点,的坐标分别为，,
,
.
，，
则，，

②：，：
，即，
，，即或.
56．(1)；
(2)
【分析】（1）因为本题没有说明椭圆的焦点所在位置，则设，代入点列方程求解；（2）设坐标，利用两点间距离公式结合椭圆方程求取到最大值时的坐标，根据l与椭圆相切，联立方程利用求解，进而求点及．
（1）
设椭圆方程为
根据题意可得，解得
∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上
∴求椭圆C的离心率，焦点坐标
（2）
设，根据题意可得，即
则
∵
∴当，即时，取到最大值
由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即
联立方程，消去得
根据题意可得：，解得
∴切线l：，与y轴交于点
∴
57．（1）；（2）.
【分析】（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得 ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.
【详解】（1），，
根据离心率，解得或(舍)，
的方程为：，即．
（2）［方法一］：通性通法
不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，， ，
又， ，
，根据三角形全等条件“”，可得：，
，，，
设点为，可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，解得：或，点为或，
①当点为时，故，
，，可得：点为，
画出图象，如图
, ，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，
根据两点间距离公式可得：，面积为：；
②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图
, ，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，
根据两点间距离公式可得：，
面积为： ，综上所述，面积为：.
［方法二］【最优解】：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，．
故，
①因为，如图，所以，．
②因为，如图，所以．
综上有
［方法三］：
由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得，
由韦达定理得，所以，
将其代入直线的方程得，所以，
则．
因为，则直线的方程为，
则．
因为，所，，
即，故或，即或．
当时，点P，Q的坐标分别为，
直线的方程为，点A到直线的距离为，
故的面积为．
当时，点P，Q的坐标分别为，
直线的方程为，点到直线的距离为，
故的面积为．
综上所述，的面积为．
［方法四］：
由（1）知椭圆的方程为，．
不妨设在x轴上方，如图．
设直线．
因为，所以．
由点P在椭圆上得，所以．
由点P在直线上得，所以．所以，化简得．
所以，即．
所以，点Q到直线的距离．
又．
故．即的面积为．
［方法五］：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设，
由题知，所以．
（1）．
则．
（其中）．
（2）．
同理，．
（其中）
综上，的面积为．
【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点的坐标，从而得出点的坐标以及直线的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，再根据题目等量关系求出的值，从而得出点的坐标以及直线的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线的方程，通过平面知识求出点的坐标，表示出点，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．
58．（1）－3＜m＜3；（2）m＝±3；（3）m＜－3或m＞3.
【分析】把直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用代数法判断交点情况：
（1）有两个公共点，需Δ＞0，解出m的范围；
（2）有且只有一个公共点，需Δ=0，解出m的范围；
（3）没有公共点，需Δ＜0，解出m的范围.
【详解】直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得
9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
（1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
（2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
（3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
【点睛】判断直线与圆锥曲线的位置关系，可以用代数法判断：
把直线与圆锥曲线的方程联立，消去x（或y），得到关于y（或x）的一元二次方程，利用判别式Δ判断：
（1）有两个公共点Δ＞0；
（2）有且只有一个公共点Δ=0；
（3）没有公共点Δ＜0.
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑