资源简介

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3.3.1　抛物线及其标准方程
【考点梳理】
知识点一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考　抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F
答案　若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
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思考　抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
答案　p的几何意义是焦点到准线的距离．
【题型归纳】
题型一：求抛物线的标准方程
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
题型二：抛物线定义的应用
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．已知点是抛物线：上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型三：抛物线的实际应用问题
7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
8．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（ ）．
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为．
A． B． C． D．
【双基达标】
10．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
11．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　
A．2 B． C． D．
12．已知抛物线：的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C． D．6
13．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
14．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
18．抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
19．已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A． B． C．4 D．
20．设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
21．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
22．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
25．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【高分突破】
一、单选题
26．若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
27．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
28．抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
29．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于
A． B． C． D．
30．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
32．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
33．已知抛物线()的焦点为，、是抛物线上的两个点，若是边长为的正三角形，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
34．[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
35．经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
36．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2 B．6 C．4 D．8
37．设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若点，则的最小值是5 D．若倾斜角为，且，则
三、填空题
38．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．
39．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
40．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.
41．已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
42．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.
43．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，轴被所截得的弦长为4，则=________.
四、解答题
44．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
45．如图，已知抛物线C1∶y2=4x，椭圆C2∶．过点E（m，0）作椭圆C2的切线交抛物线C1于A、B两点（其中m>2）．在x轴上取点G使得．
(1)求椭圆C2的右焦点到抛物线C1准线的距离；
(2)当△ABG的面积为时，求直线AB的方程．
46．已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
47．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
48．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.
【详解】∵抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴上，
∴，
故抛物线的方程为.
故选：D.
2．C
【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.
【详解】将两圆、的方程相减得：，
显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2，
圆的圆心到直线距离小于其半径，
因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，
所以抛物线的标准方程为：.
故选：C
3．C
【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
4．C
【分析】由抛物线的性质可求得，从而可得焦点坐标.
【详解】抛物线的准线方程为：，
由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，得，抛物线方程为，
则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.
故选：C
5．A
【分析】抛物线的焦点为，准线方程为，由已知条件结合抛物线的定义，得，求解即可．
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
所以，当且仅当点在线段上时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A．
6．D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为，
因为点是抛物线上一动点，
所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D
7．A
【分析】根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
8．A
【解析】先设出抛物线的方程，将点代入抛物线方程求得，即可得出结果.
【详解】如图建立直角坐标系：
设抛物线的方程为，
利用已知条件可得：
点在抛物线上，
所以，
则，
所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为.
故选：A.
9．B
【解析】画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解，即可得到抛物线的标准方程，得到答案．
【详解】由题意可知，抛物线的图形如图：，，
可得，
所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，
所以抛物线方程为：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中合理应用抛物线的定义，合理计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
10．D
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
11．D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
12．A
【分析】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，然后根据抛物线的定义和梯形的中位线定理可求得答案
【详解】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义可知，，
故的中点到的准线的距离为，
故的中点到轴的距离为4．
故选：A
13．B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，则由题意可得，代入抛物线方程求出，从而可求得焦点坐标，进而可求得答案
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B
14．B
【分析】根据抛物线方程可得抛物线焦点坐标，即为双曲线中的值，根据离心率即可求出的值，从而确定双曲线的标准方程
【详解】因为抛物线的焦点为，所以，离心率，所以，所以双曲线的标准方程为．
故选：B
15．A
【分析】由抛物线的定义与焦半径公式直接求解即可.
【详解】由题可知，抛物线准线，可得，解得，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：A.
16．A
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，写出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义得到，再利用平面几何知识求周长的最小值.
【详解】将化为，
则其焦点，准线方程为，
则，设，
则由抛物线的定义，得，
所以的周长
（当且仅当轴时取得最小值）.
故选：A.
17．B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
18．D
【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离.
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：D
19．C
【分析】根据直线的斜率列方程，求得，从而求得.
【详解】已知双曲线的左焦点，双曲线的渐近线方程为，
抛物线的焦点.
因为直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，
所以，又，解得：，所以.
故选：C
20．C
【解析】根据求得的横坐标，由此求得的纵坐标，从而求得的长.
【详解】抛物线的准线方程为，由于，
根据抛物线的定义可知，
将代入抛物线方程得，
所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
21．D
【分析】由抛物线的定义可解答.
【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.
故选：D.
22．B
【分析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.
【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，
所以点P到圆心的距离，
令，则，
令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以的最小值为，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
23．C
【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．
【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
24．C
【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】依题意设抛物线方程为．
因为焦点到准线的距离为4，
所以，所以，
所以抛物线方程为或．
故选：C．
25．B
【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.
【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，解得．
故选：B．
26．D
【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
27．C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
28．C
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；
【详解】解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C
29．C
【分析】根据抛物线定义可构造方程求得，进而确定所求距离.
【详解】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，
即，解得：，
又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为.
故选：.
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.
30．B
【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，
故选：B .
31．D
【分析】根据抛物线方程得出和开口方向即可求得.
【详解】由抛物线方程可得，开口向左，
则准线方程为.
故选：D.
32．B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
33．C
【解析】根据抛物线和正三角形的对称性，可得点的应该关于轴对称，进而可得到点的纵坐标，算出其横坐标，利用焦点弦公式解出即可.
【详解】解：根据题意及图形可得，
设、()，
由题意可得，以及，
所以，则，又，
所以，
，，
所以，解得，
故选：C.
【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．
（1）若题目已给出抛物线的方程(含有未知数)，那么只需求出即可；
（2）若题目未给出抛物线的方程：
a.对于焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一设为的正负由题设来定；
b.焦点在轴上的抛物线的标准方程可设为，这样就减少了不必要的讨论．
34．BCD
【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.
【详解】易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，
为，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
35．AC
【解析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
【详解】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
故选：AC．
【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．
36．AC
【解析】由题意得，，解方程即可.
【详解】设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
37．ACD
【分析】A选项由范围来判断，B选项由特殊点进行判断，C选项利用点到抛物线的准线的距离来判断，D选项求得两点的纵坐标来判断.
【详解】抛物线的准线为，焦点为.
设，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
，
所以（时等号成立）.所以A选项正确.
当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误.
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以C选项正确.
当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限.
故，解得，
所以，即，所以D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解.
38．6
【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．
【详解】如图所示，连接．因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以，
点到抛物线的准线的距离为3，则易知，由抛物线定义知．
故答案为：6．
39．
【分析】由抛物线的定义和方程，计算可得所求轨迹方程．
【详解】解：由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，
设抛物线的方程为，
可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故答案为：
40．
【解析】根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解.
【详解】抛物线的准线为，
当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点
所以，
若与曲线只有一个交点，
则，解得，
当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，
此时，
此时满足与曲线只有一个交点，所以，
综上所述：实数满足的条件是或，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围.
41．2
【分析】根据抛物线定义可得，运算求解．
【详解】由题意可得：准线为，故，则
故答案为：2．
42．##
【分析】利用抛物线的定义结合图形即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
过点作，垂足为，则，
所以的周长为
，
当且仅当三点共线时等号成立.
故答案为：.
43．1或3
【分析】根据题意，得到圆心在抛物线上，推出；再由抛物线的定义，得到；联立求出；再由圆的性质，由题中条件，得出，进而可求出，从而可求出.
【详解】由已知得圆心在抛物线上，所以；
又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，
所以，
因为轴被所截得的弦长为，
根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；
所以，故.
所以，即，所以或，故或.
故答案为：1或3.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与抛物线定义的应用，考查由圆的弦长求参数，属于常考题型.
44．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
45．(1)；
(2)．
【分析】（1）由方程求得焦点坐标，准线方程后可得距离．
（2）设直线方程为，设，，直线方程与椭圆方程联立，由判别式为0得的关系，直线方程与抛物线方程联立　消元后应用韦达定理得，可计算出，由得，代入韦达定理的结论可求得，然后计算△ABG的面积，由面积求出值，得，从而得直线方程．
(1)
由已知椭圆的右焦点为，抛物线的准线方程为，所以距离为；
(2)
设直线方程为，设，，
由得（，
所以，所以，
由得，所以，，
因为．所以，
即，代入整理得，
，显然，所以，
，
，
，，
因为，所以，则，
所以直线方程为．
46．(1)
(2)
【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再根据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可；
（2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
（1）
解：设圆心的坐标为，
则半径，
又因动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以，
化简得，
即动圆圆心的轨迹C的方程为；
（2）
解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，
由抛物线的定义，可知，
所以，
由图可知的最小值为F到直线的距离，
所以，
所以的最小值为．
47．（1）2，；（2），.
【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
48．（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.
【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
试卷第1页，共3页

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