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2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县兰溪中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列图标中，是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．点（﹣3，2）关于x轴的对称点是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
3．已知一个三角形的两边长分别为3和8，若第三边长为奇数，则第三边长为（　　）
A．5或11 B．7或9 C．6或8 D．10或12
4．赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD），其中运用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
6．等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．50° C．65°或40° D．50°或65°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离是（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（　　）
A．AD＝BE B．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形 D．FG∥BC
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，△ABC≌△ADE，则AB＝　 　，∠E＝∠　 　．若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝　 　．
10．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　 　．
11．已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是　 　．
12．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的　 　．（填“中线”或“角平分线”）
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60°，则∠P＝　 　．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABC的周长为21cm，则△ABD的周长为　 　cm．
15．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△BEF＝4cm2，则S△ABC＝　 　cm2．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题（共72分）
17．如图所示，107国道OA和320国道OB在某市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要建一个货站P，使P到OA和OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作出P点的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
18．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠E的度数．
19．如图，点B在线段AC上，∠ABD＝∠ABE，BD＝BE．求证：CD＝CE．
20．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．
求证：（1）BC＝AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
21．如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数．
22．已知：如图，AB∥DE，点C，点F在AD上，AF＝DC，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
24．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列图标中，是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．点（﹣3，2）关于x轴的对称点是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案．
解：点（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3．已知一个三角形的两边长分别为3和8，若第三边长为奇数，则第三边长为（　　）
A．5或11 B．7或9 C．6或8 D．10或12
【分析】能够根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是奇数，进行求解．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞5，而＜11．
又第三边是奇数，则第三边应是7或9．
故选：B．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4．赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD），其中运用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可．
解：按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD），其中运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6．等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．50° C．65°或40° D．50°或65°
【分析】根据已知可求得与这个外角相邻的内角，因为没有指明这个内角是顶角还是底角，所以分两情况进行分析，从而不难求得其底角的度数．
解：∵等腰三角形的一个外角为130°，
∴与这个外角相邻的角的度数为50°，
∴当50°角是顶角时，其底角为65°；
当50°角是底角时，底角为50°．
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离是（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，求出CD长即可．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BC＝12，BD＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝4．
又∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DE＝CD＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（　　）
A．AD＝BE B．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形 D．FG∥BC
【分析】A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
B、根据等边三角形性质得出AB＝BC，只有F为AC中点时，才能推出AC⊥BE．
C、由△ACG≌△BCF，推出CG＝CF，根据∠ACG＝60°即可证明；
D、根据等边三角形性质得出∠CFG＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定推出即可．
解：A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ACD与△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，正确，故本选项错误；
B、根据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项正确；
C、△CFG是等边三角形，理由如下：
∵∠ACG＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BCA，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
在△ACG和△BCF中
∵，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF，
又∵∠ACG＝60°
∴△CGF是等边三角形，正确，故本选项错误；
D、∵△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝60°＝∠ACB，
∴FG∥BC，正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，△ABC≌△ADE，则AB＝　AD　，∠E＝∠　C　．若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝　80°　．
【分析】根据△ABC≌△ADE，可得其对应边对应角相等，即可得AB＝AD，∠E＝∠C，∠BAC＝∠DAE；由∠DAC是公共角易证得∠BAD＝∠CAE，已知∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，即可求得∠BAC的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠E＝∠C，∠BAC＝∠DAE；
∵∠DAC是公共角
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
已知∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，
∴∠CAE＝40°，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝120°﹣40°＝80°．
故答案分别填：AD、∠C、80°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边．
10．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　10　．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
11．已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是　（﹣3，﹣2）　．
【分析】横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解：因为点P关于y轴对称的点在第四象限，所以点P在第3象限，点P的坐标是（﹣3，﹣2）．
【点评】主要考查了点的坐标的意义和对称的特点．
12．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的　中线　．（填“中线”或“角平分线”）
【分析】先证明△BED≌△CFD得到BD＝CD，然后根据三角形中线的定义可判断AD是△ABC的中线．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的中线．
故答案为中线．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60°，则∠P＝　30°　．
【分析】利用角平分线定义可知∠PCD＝∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD＝∠A+∠ABC①，∠PCD＝∠P+∠ABC②，那么可利用∠PCA＝∠PCD，可得相等关系，从而可求∠P．
解：∵CP是∠ACD的角平分线，
∴∠PCD＝∠ACD．
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCD＝∠A+∠ABC，
又∵∠PCD＝∠P+∠ABC，
∴∠A+∠ABC＝∠P+∠ABC，
∴∠P＝∠A＝30°．
【点评】本题利用了角平分线定义、三角形外角性质．
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABC的周长为21cm，则△ABD的周长为　13　cm．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AC长和AD＝DC，根据三角形周长求出AB+BC的长度，求出△ABD的周长＝AB+BC，代入求出即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
故答案为：13．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能求出△ABD的周长＝AB+BC和AD＝DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△BEF＝4cm2，则S△ABC＝　16　cm2．
【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．
解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
∴S△BEC＝S△ABC，S△BEF＝S△BEC，，
∴S△BEF＝S△ABC，
∵S△BEF＝4cm2，
S△ABC＝4S△BEF＝4×4＝16（cm2），
故答案为：16．
【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是　①②③　（把你认为正确结论的序号都填上）．
【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD＝CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，故④错误．
解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故③正确；
④∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．如图所示，107国道OA和320国道OB在某市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要建一个货站P，使P到OA和OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作出P点的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【分析】做出CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，其交点P或P′即为所求．
解：如图：
【点评】本题考查了作图﹣﹣应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
18．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠E的度数．
【分析】根据平行线的性质求出∠DOE，然后根据外角的性质求解．
解：∵AB∥CD，∠A＝40°，
∴∠A＝∠DOE＝40°，
∵∠DOE＝∠C+∠E，
又∵∠E＝∠C，
∴∠C＝∠E＝∠A＝20°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
19．如图，点B在线段AC上，∠ABD＝∠ABE，BD＝BE．求证：CD＝CE．
【分析】根据SAS证明△DBC≌△EBC即可得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠EBC．
在△DBC和△EBC中，
，
∴△DBC≌△EBC（SAS），
∴CD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
20．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．
求证：（1）BC＝AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC＝BD，AB＝BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC＝AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，从而证出OA＝OB，△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
21．如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数．
【分析】根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG＝∠ACE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BAC，再根据邻补角的定义求出∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝×∠ACD＝×100°＝50°，
∵FG∥CE，
∴∠AFG＝∠ACE＝50°，
在△AFG中，∠BAC＝∠AFG+∠AGF＝50°+20°＝70°，
又∵∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
22．已知：如图，AB∥DE，点C，点F在AD上，AF＝DC，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD
∴AC＝DF，且∠A＝∠D，AB＝DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
；
综上所述，存在
或
使得△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．

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