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三角函数的概念
CONTENTS
析 教 材
01
讲 教 法
02
论 学 法
03
说 过 程
04
谈 反 思
05
第
一
章
节
di
yi
zhang
jie
析 教 材
1.1 教材的地位与作用
内容：人教版高中数学必修一《三角函数》的第五章第二节。
地位：三角函数的定义是本章最基本的概念。对三角内容的整体学习至关重要,是其他所有知识的出发点.
在教材中起着承前启后的作用
本节课之前学生学习了任意角,以及弧度数与实数的一一对应,这为学习任意角的三角函数奠定了基础
1.2 学情分析
认知
障碍
认知
基础
三角函数是“从角(实数)的集合到坐标分量的集合”的对应关系,其概念的构建是一个数学化的过程,这与以前各类初等函数概念的建构过程是不一样的,与学生的已有经验有较大差距
1.3 教学目标
在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质,体会数形结合思想方法的作用
理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数,理解任意角的三角函数的概念
经历三角函数概念的抽象过程,发展数学抽象素养。
重点
难点
1.4 教学重难点
如何确定变量,如何明确对应关系,如何构建和理解对应法则.
建构和理解任意角的正弦、余弦的定义，能根据定义求特殊角的三角函数值.
第
二
章
节
di
er
zhang
jie
谈 教 法
探究式教学=小梯度大密度问题串+几何画板直观呈现
2.1 教法分析
情境引入
学生活动
问题串联
构建概念
第
三
章
节
di
san
zhang
jie
论 学 法
3.1 学法指导
交流讨论
讲练结合
力求达到“师——生，生——生”
互动
第
四
章
节
di
si
zhang
jie
说 过 程
提出问题 寻找变量
联系变量 构建函数
理解法则 构建概念
历史拓展 感同身受
01
02
03
04
05
06
关联探究 深化认识
知识应用 合作交流
4.1 教学过程
引导语:在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象,比如日出日落、钟摆运动等,匀速圆周运动是这类现象的代表
问题1：摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？
提出问题 寻找变量
数学问题：单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，可以用哪些变量刻画点P的位置变化？
角 α
P点坐标
几何画板
追问①：求点P的坐标要用到什么知识？
追问②：求点P坐标的步骤？
问题3：任意确定一个角α 时,观察它的终边与单位圆焦点P的坐标，你有什么发现
问题2：当 时，P点的坐标是什么？当 时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
特殊
一般
追问①：终边唯一吗？
追问②：角和坐标之间有什么关系？
几何画板
联系变量 构建函数
突破难点
亮点一
联系变量 构建函数
问题4： 请根据刚才两个函数关系，求解 的函数值？
亮点二
理解法则 构建概念
获得关系式：
问题5： 是不是α 的函数？根据正切的定义，你能说出α 的取值范围？
三角函数定义
初中定义 高中定义
联系
函数值符号
值均为正数
可正可负可零
角的范围
锐角
任意角
高中三角函数的定义统一和兼容了初中三角函数的定义
函数值定义
边长比值
终边上点的坐标
？
？
？
？
？
？
？
问题6：初中也有三角函数,那初高中的定义有什么区别和联系
翻牌游戏
例1：利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值。
知识应用 合作交流
算比值（对正切函数）
画终边
找交点坐标
进阶训练 拓展理解 获得等价定义
例2：如图设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为（x,y）,点P与原点的距离为r,求证：
亮点三
雷格蒙塔努斯
欧拉
第一次独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说
18世纪欧拉新定义了三角函数(接近现今定义),从函数角度去理解,使其可脱离几何图形去进行自由的运算
历史拓展 感同身受
亮点四
板书设计
三角函数定义
例1
例2
三角函数定义,以及如何求三角函数值
知识小结
感受数形结合的思想和方法
体会数学中特殊与一般不断转化的研究方法.
升华对弧度制引入必要性的认识.
课堂小结 作业布置
思想归纳
1. 完成书P180练习题、P184习题5.2第1,11,12题
2.梳理抽象三角函数概念的过程
3.拓展阅读:阅读课本P186页,课后查阅相关知识.
作业布置
第
五
章
节
di
wu
zhang
jie
谈 反 思
教学反思
学生讨论，交流呈现，
“以学生为主体”的理念
突出“函数性”,
逻辑主线明确
几何画板演示
直观形象
THANKS
谢谢聆听
明确要素 理解概念
问题:请同学们先阅读第178-179页，再回答如下问题：
(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么
(2)符号 sina 、 cosa 和 tana 分别表示什么 在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗
(3)为什么说当 a ≠+ kT , k ? Z 时, tana 的值是唯一确定的
(4)为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是 R 而正切函数的定义域是(红? Rx ≠+ k 元, k ? Z
师生活动学生独立阅读教科书,思考问题给出答案,再进行小组交流,最后各小组派代表发言,老师给予点评
1.突出体现三角函数的“函数性”,逻辑主线明确,在课堂实践中以教师问题串为引,层层推进,在师生问答互动中突破难点
3、课堂中多次运用几何画板信息技术演示，让课堂更加生动，
从而提高课堂的有效性。
2.通过学生讨论，交流呈现，让学生真正参与课堂，符合
课程“以学生为主体”的理念；
教学反思
5.1 教学预估
实验探究中时间的不确定性
状况1
类比探究时物质的不确定性
状况2
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一,而三角学是天文观察结果推算的一种方法,因此在相当长的时期里隶属于天文学.
直到1464年,德国数学家雷格蒙塔努斯第一次独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说,但仅仅采用了正弦和余弦函数且函数值限定在正数范围.
而后哥白尼学生将三角函数定义为直角三角形的边长之比,制作了更精确的三角函数表.
18世纪欧拉新定义了三角函数(接近现今定义),从函数角度去理解,使其可脱离几何图形去进行自由的运算,反映运动和变化的过程,且在微积分、物理学研究(如振动、声音
传播等)中大放光彩.
问题4： 请根据刚才两个函数关系，求解 的函数值？
引导①：用初中解直接三角形解题
引导②：在长度上添加符号获得坐标
练习1： 请根据刚才两个函数关系，求解 的函数值？
学生板演
亮点二
理解法则 构建概念
获得关系式：
问题5： 是不是α 的函数？根据正切的定义，你能说出α 的取值范围？
问题5： 是不是α 的函数？根据正切的定义，你能说出α 的取值范围？
突破难点
【设计意图]通过教师直观演示、不断设问、追问和层层引导,学生获得三角函数的对应关系,帮助学生在一般函数观念下理清三角函数的“三要素”，初步构建三角函数概念，为理解形式化的三角函数定义起关键作用，突破了教与学的难点.(2)在概念的形成过程中，体会函数思想和数形结合思想
建立对应关系：
亮点一
设 α是一个任意角 ，它的终边 OP 与单位圆交于圆交于点P，把点P的纵坐标定义为角α的正弦函数；把点P的横坐标定义为角α的余弦函数
正弦函数y＝sin α，α∈R
余弦函数y＝cosα，α∈R
正切函数y＝tanα，α≠ ＋kπ，k∈Z
三角函数定义
提出问题 寻找变量
联系变量 构建函数
理解法则 构建概念
历史拓展 感同身受
01
02
03
04
05
06
关联探究 深化认识
知识应用 合作交流
4.1 教学过程
4.2 真实情景
引入新课
食品和面部美容品
益于健康的食品生产
含氯化肥
聚氯乙烯
聚氨酯（用于塑料和油漆）
水处理
农产品
创新一
情景激学法
思维导图
工业：
饱和食盐水
氧化性
实验室：
浓盐酸、MnO2
氯气
电解
加热
金属
非金属
Na
Fe
Cu
H2
4.3 类比探究
“后茶馆式” 教学!
关注学生学习获得知识的方法过程，
提高学生学习效能
八圈图
氧气
创新二
思维导图
工业：
饱和食盐水
氧化性
与水
反应
实验室：
浓盐酸、MnO2
氯气
电解
加热
氯水的成分与次氯酸的性质
金属
非金属
Na
Fe
Cu
H2
问题1：摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？
提出问题 寻找变量
数学问题：单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，可以用哪些变量刻画点P的位置变化？
A(1,0)
角 α
P点坐标
几何画板
例2：如图设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为（x,y）,点P与原点的距离为r,求证：
引导①：你能根据三角函数的定义作图表示sin α与cosα？
引导②：在你所作图形中,一、产、一各表示什么,你能找到它们与任意角 a 的三角函数的关系吗
4.4.1 重点突破——氯水成分的确定
演示实验
反应方程式
推测成分
观察现象
现象2：
石蕊试液变红，后褪色
现象1：
加入硝酸银，产生不溶于稀硝酸的白色沉淀
Cl-
建构主义
创新三
为什么指示剂褪色了？
H+
实验促学法
质量守恒定律
4.4.2 难点探析——次氯酸的漂白性
Copyright 2012 Andy Guo. All rights reserved。
现有发展水平区域
H2O和HCl没有漂白性。
要求学生设计实验找到氯水中具有漂白性的物质
最近发展区
将干燥试纸放入氯气瓶中，试纸不褪色
HClO
创新四
思维导图
工业：
饱和食盐水
氧化性
与水
反应
与碱
反应
实验室：
浓盐酸、MnO2
氯气
电解
加热
氯水的成分与性质
金属
非金属
Na
Fe
Cu
H2
NaOH：
尾气吸收
Ca(OH)2：
制漂白粉
课后作业
板书设计
提出问题 寻找变量
联系变量 构建函数
理解法则 构建概念
课堂小结 作业布置
历史拓展 感同身受
01
02
03
05
06
07
04
08
关联探究 深化认识
明确要素 理解概念
知识应用 合作交流
4.1 教学过程
4.1 教学过程
5分钟..........真实情景引入新课
7分钟..........类比探究
9分钟..........重点突破
15分钟.........难点探析
3分钟..........归纳总结
1分钟..........布置作业
例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗
进阶训练 拓展理解 获得等价定义
交流讨论
A(1,0)
几何画板
R
角 α
P点坐标
问题2：当 时，P点的坐标是什么？当 时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
追问①：求点P的坐标要用到什么知识？
追问②：求点P坐标的步骤？
几何画板演示角动什么跟着动
问题3：任意确定一个角 时,观察它的终边与单位圆焦点P的坐标，你有什么发现
追问①：终边唯一吗？
追问②：角和坐标之间有什么关系？
板书
引导①：α定了， 定了，几个？
α定了， 定了，几个？
引导②： α 什么范围？给定角，有唯一确定的 与之对应，也有唯一确定的 与之对应？这是什么？
板书
几何画板演示角动什么跟着动
【设计意图]通过教师直观演示、不断设问、追问和层层引导,学生获得三角函数的对应关系,帮助学生在一般函数观念下理清三角函数的“三要素”，初步构建三角函数概念，为理解形式化的三角函数定义起关键作用，突破了教与学的难点.(2)在概念的形成过程中，体会函数思想和数形结合思想
建立对应关系：
亮点一
问题2：当 时，P点的坐标是什么？当 时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
联系变量 构建函数
追问①：求点P的坐标要用到什么知识？
追问②：求点P坐标的步骤？
加一副做直角的图
问题4：初中也有三角函数,那初高中的定义有什么区别和联系
初中定义 高中定义
函数值符号 值均为正数 可正可负可零
角的范围 锐角 任意角
函数值定义 边长比值 终边上点的坐标
？
？
？
？
？
？
高中三角函数的定义统一和兼容了初中三角函数的定义
关联探究 深化认知
INVERSION
几何
角 α
P点坐标
代数
A
三角函数的概念
4.1 教学过程
5分钟..........提出问题 寻找变量
7分钟..........联系变量 构建函数
9分钟..........理解法则 构建概念
15分钟.........关联探究 深化认识
3分钟..........明确要素 理解概念
1分钟..........知识应用 合作交流
1分钟..........课堂小结 布置作业

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