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5.已知椭圆C的一个焦点为(1,0)，且过点(0，V3,则椭圆C的标准方程为
2022~2023学年第一学期高二年级期中质量监测
B
4+31
数学试卷
c号+-1
n+=
（考试时间：上午7：309：00】
6.下列说法不正确的是
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟.满分100分。
A.直线的方程都可以表水为Ax+y+C=0(A、B不同时为0)
题号
二
三
总分
B.若直线y=慨+6经过一、三象限，则k>0
C.若直线的横纵截臣相等，则直线1的斜率为1或过原点
得分
D.若直线的方程为Ax+8+C=0(B≠0)，则直线：的斜率为
B
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
7.如图，在四祈体ABCD巾，E为CD的中点，点F在线段A上，
符合题日要求的.)
且AF=2F厘，若BF=xA丽+yAC+z而，则(x,y,)=
1.直线x+y+2=0的倾斜角为
A-片
R(-l写
A日
B.
.111
4
c.(266)
,111
D.(36'6
C.T
8.直线的方向向量为(2,3)，直线m过点(1,1)且与垂直，则直线m的方为
3
2.已知直线1的方向向量为a,平面&的法向其为n,若a=(-1,0、-1),=(1,0,1),圳直线1与
A.2x+3y-5=0
B.2x-3y+1=0
平面c
C.3x+2y-5=0
D.3x-2y-1=0
A.垂直
B.平行
9.已知{a,,}是空间的…个基底，那么下列选项中不可作为基底的是
C.相交但不垂直
D.位置关系无法确定
。
A.{a,.a+c}
B.a,b,a 2b
3.已为袋点在)抽上的椭图+苦-1的离心率为，对m二
C.fa+2e,b,e}
D.a,a+b,a+ch
A.3
B.23
10.设，，为椭圆C:i6
x2
上=1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF,F
C.12
D.2
为等腰三角形，则△MF,F的面积为
4.已知点A(3,4,5)在坐标平面0内的射影为点B,则点B与点C(3,-2,6)的距离为
A.2
A.63
B.6v2
B号
C.w/37
D.V26
C.17
D.V35
效
高二数学第1页（共8页）
高二数学第2页（共8页）
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,G,D,中，E,F分别为CD,AB,的巾点，则下列结论
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
正确的是
17.(木小题满分8分)
①，点F到点的距离为v互；
已知A(0,1),B(-2,-1),C(5.3)三点
②点到直线D,的距离为3，
(1)求AB边上屮线所在直线的方程；
(2)求△AC的面积，
③点严到半面D,的即离为：
④平面B℃，到平面4区D,的距离为2Y6
A.①②④
B.②③④
G.①④
D.①②③
12.下列结论正确的个数是
①吧知点440)，80.0).cQ,3)期△1c外接圆的方程为x-2y+(-多y-空，
②已知点A(-1,0)、B(1.0),动点P满足|P4|=2PB引，则动点P的轨迹方程为
2+y9+1=0:
③记知点M在圆0：x+y=9上，P(9,0),且点满足丽=)硬，则点N的轨迹方程为
(米-32+y2=4.
.0
B.1
0.2
D.3
二填空题〔本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题巾横线上)
13.过点(13)，斜率=0的直线力程为
s1
14.如图，在正三梭柱ABC~A1B,C,巾，若AB=V2,AA,=1,圳
AR,与C,所成角的大小为一
15.在平面直角坐标系中，若直线过，点P(xoy),且以业=(A,B)为法问量（与直线方向向量
垂直的向量)，则古线1上任意一点P(x,y)满足：A(x-)+B(y-y)=0.请你大胆类比
猪想：在空间直角坐标系中，若平面α过点Q(x,a,,1以=(a,b.c)为法向量，则平而
出上任意一点P(x,Y,z)满足：
16.已知K方体ABGD-A1B,C,D,中，AB=D=2,AA,=1,P为底面ABCD(含边界)上的动点，
且满足AG⊥A,P,则点P纨逊的长度为
高数学第3页（共8页）
高二数学第4页（共8页）2022-2023 学年第一学期高二年级期中质量监测
数学参考答案及评分建议
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A B B C B A B D D D
二、填空题
13. y = 3 14. 90°
2
15. a(x x0 ) + b(y y0 ) + c(z z0 ) = 0 16. 2
三、解答题
17.(本小题满分 8 分)
解：（1）A(0,1)，B( 2, 1) 中点坐标为 D( 1,0)， …………………………………………1 分
则 AB 边上中线所在直线的方程为 CD：x 2y +1= 0 . …………………………………4 分
（2）由 A(0,1)， B( 2, 1) ，得 AB 所在直线方程为 y = x +1， AB = 2 2 ， …..6 分
C(5,3) AB d 3 2点 到直线 的距离 = ， ……………………………………………………………….7 分
2
则 ABC S 1的面积 = ×2 2 3 2× = 3 . ………………………………………………………………8 分
2 2
18. (本小题满分 10 分)
{ } 解：（1） AA1, AB, AD 可构成空间的一个基底，则 AC1 = AA1 + AB + AD， ………2 分
2 2 2 2
所以 AC1 = AA1 + AB + AD + 2AA1 AB + 2AA1 AD + 2AD AB =113，…………4 分
所以 AC1的长为 113 . …………………………………………..……………………………………….5 分

（2）因为 AC1 = AA1 + AB + AD ， BD = AD AB ，

所以 BD AC1 = (AD AB) (AA1 + AB + AD) ，
2 2
= AD AA1 + AD AB + AD AB AA1 AB AB AD
2 2
= AD AA1 + AD AB AA1 AB
=10+16 10 16 = 0 ………..…………………….9 分
所以 AC1 ⊥ BD ， …………………………………………………………………….………….10 分
19. (本小题满分 10 分)
解：（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 方程为 x =1，与圆O的交点为 (1, 3), (1, 3)，
此时弦长为 2 3 ，满足条件， ………………………..…………………….2 分
2
k + 2
当直线 l 存在斜率时，设直线 l 方程为 y = kx k + 2，则 + 3 = 4，
k 2 +1
3
解得 k = ，所以直线 l 方程为3x 4y + 5 = 0， ………………………..…………………….4 分
4
故直线 l 方程为 x =1或3x 4y + 5 = 0 . ………………………..…………………………….5 分
（2）设圆C 的方程为 x2 + y2 4+ λ(3x 4y + 5) = 0，
x2 + y2即 + 3λx 4λ y + 5
3λ
λ 4 = 0，则其圆心坐标为 ( , 2λ)， ………..………….7 分
2
因为圆心在 x + y 1= 0 上，则λ = 2 . …………………………..………....………….…………9 分
2 2
所以圆C 的方程为 x + y + 6x 8y + 6 = 0 . ………..………….………..………………….10 分
20. (本小题满分 10 分)
(A) 解：（1）平行四边形 ABCD中，因为 AB = AC =1， AD = 2 ，则 AB ⊥ AC .
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，
则M (1 , 1 ,0)，N (0,0, 1)， P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0) .
2 2 2

PB = (1,0, 1), BC = ( 1,1,0), MN ( 1 , 1 , 1= ) ……….2 分
2 2 2 .

设平面 PBC 的法向量为 n = (x1, y1, z1) .
x1 z1 = 0，
则 得平面 PBC 的一个法向量 x y 0 n = (1,1,1)
. …………………………….3 分
1 + 1 = ，
1

设直线MN 与平面 PBC 所成角为θ ，则 sinθ = cos MN , n
1
= 2 = . ….5 分
3 3
3
2

（2）设 PA = h ，则 P(0,0, h), B(1,0,0) , C(0,1,0) . PB = (1,0, h), BC = ( 1,1,0),
x z h = 0
设平面 PBC 的法向量为 n1 = (x1, y1, z1) .
1 1
则 ，
x1 + y1 = 0

得平面 PBC 的一个法向量 n1 = (h,h,1)，又 AC = (0,1,0) .
π h π 1 2
因为直线 AC 与平面 PBC 所成角为 ，则 = sin = ，解得 h = .
6 2h2 +1 6 2 2
………………………..…………………………..…..………………7 分

设平面 ABCD的法向量为 n2 = (0,0,1) ，平面 PBC 与底面 ABCD所成角为 β ，
则 cosβ
1 2
= = . ………………………..…………………………..…..………………9 分
2h2 +1 2
故平面 PBC 与底面 ABCD π的夹角为 . ………………………..…………..………………10 分
4
20（B）解：（1）平行四边形 ABCD中，因为 AB = AC =1， AD = 2 ，则 AB ⊥ AC .
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，
则M (1 , 1 ,0)，N (0,0, 1)， P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0) .
2 2 2

PB = (1,0, 1), BC = ( 1,1,0), MN = ( 1 , 1 , 1 ) ……….2 分
2 2 2 .

设平面 PBC 的法向量为 n = (x1, y1, z1) .
x
1
z1 = 0，
则 得平面 PBC 的一个法向量 x y 0 n = (1,1,1)
. …………………………….3 分
1 + 1 = ，
1

设直线MN 与平面 PBC 所成角为θ ，则 sinθ = cos MN , n
1
= 2 = . ….5 分
3 3
3
2

（2）设 PA = h ，则 P(0,0, h), B(1,0,0) , C(0,1,0) . PB = (1,0, h), BC = ( 1,1,0),

设平面 PBC 的法向量为 n1 = (x1, y1, z1) .
x1 z1h = 0
则 ，得平面 PBC 的一个法向量 n1 = (h, h,1) .
x1 + y1 = 0

设平面 ABCD的法向量为 n2 = (0,0,1) ，又 AC = (0,1,0)， ……………………..…………7 分
h 3
设直线 AC 与平面 PBC 所成角为α ，则 sinα = ∈ (0, ]，
2h2 +1 3
所以 h∈ (0,1] . ……………………..………………………………………………………………………8 分
1 3
设平面 PBC 与底面 ABCD所成角为 β ，则 cosβ = ∈[ ,1) . …………10 分
2h2 +1 3
21. (本小题满分 10 分)
2 2 2
（A）解：（1）根据题意，得 (x 1) + y = x 2 ， …………………………………2 分
2
x2
化简，得曲线C 的方程 + y2 =1. ………………………………………………………4 分
2
（2）设直线 l 的方程为 y = kx +m，
y = kx +m
联立方程 x2
，
+ 2y
2 = 2
得 (2k 2 +1)x2 + 4kmx + 2(m2 1) = 0， = 8(2k 2 m2 +1) ，
x x 4km 2(m
2 1)
1 + 2 = ， x x = ； ………………………………………………………6 分 2k 2 +1 1 2 2k 2 +1
S 1 1 k 2 2 2 2k
2 m2 +1 m 2
OPQ = + = ， 2 2k 2 +1 1+ k 2 2
2m2化简， 得 = 2k 2 +1 , ……………………………………………………………………8 分
2 2 2 2
x 2 2 2 16k m 4(m 1) 4k + 2所以 1 + x2 = (x1 + x2 ) 2x1x2 = (2k 2 +1)2
= = 2 . …………10 分
2k 2 +1 2k 2 +1
21 2（B）解：（1）根据题意，得 (x 1)2 + y2 = x 2 ， …………………………………1 分
2
x2 2
化简，得曲线C 的方程 + y =1. ………………………………………………………………3 分
2
y = 2x + 2
联立直线与椭圆方程 2 2 ， 得9x
2 +16x + 6 = 0， = 40，
x + 2y = 2
S 1 5 2 10 2 2 10所以 OPQ = = . ……………………………………………………………………4 分 2 9 5 9
m2
（2）当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为： x = m ；解得 P(m, 1 )，
2
m2 m2 2Q(m, 1 )，则 S OPQ = m 1 = ，解得：m =1， 2 2 2
则 x 21 + x
2
2 =2. ……………………………………………………………………5 分
y = kx +m
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y = kx +m；联立方程得： 2 ，
x + 2y
2 = 2
(2k 2 +1)x2 + 4kmx + 2(m2 1) = 0， = 8(2k 2 m2 +1) ，
x x 4km x x 2(m
2 1)
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， …………………………………………………………………6 分 2k +1 2k +1
S 1
2
1 k 2 2 2 2k m
2 +1 m 2
OPQ = + 2 =
2 2
，化简得： 2m = 2k +1，……8 分
2 2k +1 1+ k 2 2
2 2 2 2
x 2 x 2 (x x )2 2x x 16k m 4(m 1) 4k + 21 + 2 = 1 + 2 1 2 = = = 2 . ……………………9 分 (2k 2 +1)2 2k 2 +1 2k 2 +1
y 2 y 2 1 x
2 x 2 x 2 + x 2
1 + =
1
2 +1 2 = 2 1 2 =1 ……………………….………10 分 2 2 2 .
（注：以上各题，其他正确解法相应付分）

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