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第二十四章 圆
24. 1 圆的有关性质
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
24.1.4 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
复习回顾：什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
思考：如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
新课导入
如图中的∠BAC，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做
圆周角.
注意：两个条件必须同时具备，缺一不可.
新知探究
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
新知探究
（4）
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧AB,试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系
新知探究
⌒
在∠BAC 的内部
在∠BAC的一边上
在∠BAC的外部
新知探究
为了证明上面发现的结论，在☉O上任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于A的位置不同，折痕会出现三种情况：
来分析第一种情况：圆心O在∠BAC的一边上.
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠A+ ∠C
新知探究
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
当圆心O在∠BAC的内部时，可以添加辅助线，转化为第一种情况.
新知探究
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
当圆心O在∠BAC的外部时，同理可证.
新知探究
归纳总结：圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
新知探究
进一步，还可以得到圆周角定理的推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
新知探究
请你自己在练习本上完成证明.
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
新知探究
∵AB是直径，
又在Rt△ABD中，AD 2+BD 2=AB 2，
∴AD=BD.
∵CD平分∠ACB，
新知探究
例2 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
. O
A
D
C
P
B
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD
＝ 90°－60°
=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
新知探究
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
新知探究
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系是什么？
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
思考：如何证明你的猜想呢？
新知探究
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
新知探究
证明： ∵∠A所对的弧为BCD， ∠C 所对的弧为 BAD
又 BCD和BAD所对的圆心角的和是周角，
⌒
⌒
⌒
⌒
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
课堂小结
课堂训练
1.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD的度数是(　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
课堂训练
3.在⊙O中，弦AB所对圆心角为40°，则弦AB所对的圆周角为_______________.
20°或160°
课堂训练
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .
2
C
A
B
O
5.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
课堂训练
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
6. 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
课堂训练
课堂训练
中考链接
1．如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠D的度数为60°，则∠C的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
B
课堂训练
2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
A
课堂训练
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若 ，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125° B．130°
C．135° D．140°
B
课堂训练
4．如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　　．
30°
5．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　 _____________.
60°或120 °

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