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21.在矩形ABCD中，∠DAB的角平分线AE交边CD于点E
23.操作与探究
(1)如图1，∠ABC的角平分线BF交边CD于点F,求证：DF=CE:
操作：在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的△ABC纸片进行以下操作，并探究其
(2)如图2，当点E与点C重合时.
中的问题：
①作LABC的角平分线BG交AC于点O;
第一步：如图2，沿过点B的直线折叠，使得点A落在BC上，展开铺平该纸片，折痕为BD;
②当AB=4时，求①中B0的长
第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点B与点D重合，展开铺平该纸片，折痕为EF;
第三步：如图4，连接DE,DF.
C(E
探究一：判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
探究二：在△ABC纸片中，∠A=105°，∠ABC=30°，BC=6+2V3.
从A,B两题中任选一题作答
圜
A.求四边形BEDF的面积.
B.设点P在BD上运动，连接CP,PF,求CP+PF的最小值
图2
22.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元/盏.试销一段时间
后，发现按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯售价在40元至60元之间
时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏，
(1)若每盏台灯销售价为46元，求这周的销售利润；
(2)如果要实现每周的销售利润10000元的目标，求每盏台灯的销售价格.
九年级数学第5页（共6页）
九年级数学第6页（共6页）2022-2023 学年第一学期九年级期中质量监测
数学试题参考答案及等级评定建议
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B
答案 B D A D C A B C C C D
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
11. 1 4 12. 13.30 14.1 15.A. 243 2 B.
2 5
三、解答题（本大题共 8个小题，共 55分）
16.（每小题 4分，共 8分）
解：（1）配方，得 x2 6x 32 32 3 0. …………………………1分
x 3 2 12 0.
移项，得 x 3
2 12. …………………………2分
两边开平方，得 x 3 2 3. …………………………3分
即 x 3 2 3，或 x 3 2 3.
所以 x1 3 2 3，x2 3 2 3 . …………………………4分
（2） 这里 a=2，b=5，c=1. …………………………5分
∵b2 4ac 52 4 2 1 17 0， …………………………6分
x 5 17 5 17∴ . …………………………7分
2 2 4
x 5 17 x 5 17即 1 ， 2 . …………………………8分4 4
17.（本题 6分）
解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°. …………………………2分
180 ADC
∴∠ACD= =45°. …………………………4分
2
同理可得 ∠DCF=45°. …………………………5分
∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°. …………………………6分
九年级数学试题参考答案 第 1页 共 6页
18.（本题 6分）
解：存在. …………………………1分
设这五个连续的正整数分别为 x 2，x 1， x，x 1， x 2 . …………2分
根据题意，得 (x 2)2 (x 1)2 x2 (x 1)2 (x 2)2. …………4分
解得 x1=12，x2=0(不合题意，舍去). …………………………5分
此时 x 2 12 2 10，x 1 12 1 11，x 1 12 1 13，x 2 12 2 14 .
答：这五个正整数分别为 10，11，12，13和 14. ……………………6分
19.（本题 6分）
证明：∵菱形 ABCD 的对角线 AC和 BD相交于点 O，
∴OC= 1 AC，AC⊥BD. …………………………2分
2
1
∵DE= AC，∴DE= OC. …………………………3分
2
∵DE∥AC，∴四边形 OCED是平行四边形. …………………………4分
∵AC⊥BD于点 O，∴∠COD=90°. …………………………5分
∴四边形 OCED是矩形. …………………………6分
20.（本题 8分）
1
解：（1） ; …………………………3分
4
（2）方法一，根据题意，列表如下：
…………………5分
由表格可知，共有 16种等可能的结果，其中骰子前进到数字“7”那一格的结果
有 3种：（2，4），（3，3），（4，2）， ………………………7分
3
所以，P(骰子前进到数字“7”那一格)= . ………………………8分
16
九年级数学试题参考答案 第 2页 共 6页
方法二，根据题意，画树状图如下：
………………………5分
由树状图可知，共有 16种等可能的结果，其中骰子前进到数字“7”那一格的结
果有 3种：2，4），（3，3），（4，2）， ………………………7分
3
所以，P(骰子前进到数字“7”那一格)= . ………………………8分
16
21.（本题 6分）
解：（1）∵四边形 ABCD是矩形，∴AD=BC，DC∥AB.
∴∠EAB=∠DEA，∠ABF=∠BFC. ………………………1分
∵∠DAB，∠ABC的平分线 AE，BF与边 CD分别交于点 E和 F，
∴∠EAB=∠DAE，∠ABF=∠FBC.
∴∠AED=∠DAE，∠CBF=∠FBC.∴AD=DE， CF=CB. ……………2分
∵AD=BC，∴DE=CF. 即 DF+ EF =CE+ EF.
∴DF=CE. ………………………3分
（2）解：①如图.
………………………4分
∴上图为所求的图形.
②由（1），得 AD=DE.
∵点 E与点 C重合，∴AD=DC.
∵四边形 ABCD是矩形，∴四边形 ABCD是正方形. ………………………5分
同理可得 BD平分∠ABC.
∵BG平分∠ABC， ∴点 G落在射线 BD上.
九年级数学试题参考答案 第 3页 共 6页
∵AB=4，四边形 ABCD是正方形，BG交 AC于点 O，
∴AD= AB=4，∠DAB=90°，BO=OD.
1
在 Rt△ABD中，BO= BD，
2
由勾股定理，得 BD= AB2 AD2 42 42 4 2.
∴BO= 2 2 .
∴BO的长为 2 2 . ………………………6分
评分说明：（2）用尺规作图或直接连接 BD均可.
22.（本题 7分）
解：（1）根据题意，得 每盏台灯销售价为 46元时这周的销售利润为
(46 30)(600 46 40 20) 16 540 8640(元). ……………1分
2
答：每盏台灯销售价为 46元时，这周的销售利润是 8640元. ……………2分
（2）设每盏台灯的销售价格为 x元. …………………3分
根据题意，得 (x 30)(600 x 40 20) 1000. …………………5分
2
解得 x1 50，x2 80 (不合题意，舍去). …………………6分
答：每盏台灯的销售价格为 50元. …………………7分
23.（本题 8分）
探究一：四边形 BEDF是菱形. 理由如下： ……………………1分
∵纸片沿过点 B的直线折叠，点 A在 BC上，折痕为 BD，
∴∠ABD=∠DBC.
∵折叠该纸片时使点 B与点 D重合，
∴EF是线段 BD的垂直平分线. ………………………2分
∴ED=EB，FD=FB，EF⊥BD.
∴∠ABD=∠EDB，∠DBC=∠BDF.
∴∠ABD=∠BDF，∠DBC=∠BDE.
∴ED∥BF， BE∥DF. ∴四边形 BEDF是平行四边形. …………………3分
∵EF⊥BD，∴四边形 BEDF是菱形. …………………………4分
九年级数学试题参考答案 第 4页 共 6页
探究二：
A.如答图，过点 D作 DH⊥BC于点 H.
则∠DHF=∠DHC=90°.
由探究一，得 四边形 BEDF是菱形.
∴BF=FD，BE∥FD.
∵∠ABC=30°，∠A=105°，
∴∠DFC=∠ABC=30°，∠C=180° A ABC =45°. ………………5分
∴在 Rt△DFH中，DF=2DH.
2
由勾股定理，得 FH= DF 2 DH 2 2DH DH 2 3DH .
在 Rt△DCH中，∠CDH=90° ∠C =45°. ∴∠C=∠CDH. ∴DH=HC. …6分
∵BC=BF+FH+HC，BC=6 2 3 .
∴6+2 3=2DH 3DH DH . ∴DH=2. ………………………7分
∴BF=DF=4.
∴S 四边形 BEDF= BF DH 4 2 8. ………………………8分
∴四边形 BEDF的面积等于 8.
B.如答图，过点 D作 DH⊥BC于点 H，过点 E作 EG⊥BC于点 G，连接 EC
交 BD于点 P，连接 PF.
∴∠DHF=∠DHC=∠EGC =∠EGB=90°.
由探究一，得 四边形 BEDF是菱形.
∴BF=FD= BE，BE∥FD， ED∥BF，
点 E与点 F关于 BD对称.
∴CP+PF的最小值是 CE. …………5分
∵∠ABC=30°，∠A=105°，
∴∠DFC=∠ABC=30°，∠ACB=180° A ABC =45°.
∴在 Rt△DFH中，DF=2DH.
由勾股定理，得 FH= DF 2 DH 2 2DH 2 DH 2 3DH .
在 Rt△DCH中，∠CDH=90° ∠C =45°.
∴∠C=∠CDH. ∴DH=HC.
九年级数学试题参考答案 第 5页 共 6页
∵BC=BF+FH+CH，BC=6 2 3 .
∴6+2 3=2DH 3DH DH .∴DH=2. ………………………6分
∴BF=DF=4.
∵ED∥BF，DH⊥BC于点 H， EG⊥BC于点 G，∴EG=DH=2.
∵BE=FD= 4，∠EGB=90°，∴△BEG中是直角三角形.
由勾股定理，得 BG= BE2 EG2 42 22 2 3.
∴CG BC BG 6 2 3 2 3 6. ………………………7分
在 Rt△EGC中，由勾股定理，得
CE= CG2 EG2 62 22 2 10.
∴CP+PF的最小值是 2 10 . ………………………8分
评分说明：解答题的其它解法参照上述评分.
等级评定建议
等级 选择题 填空题 解答题 总评
优秀 27分~30分 15分 47分及以上 85分及以上
良好 24分 12分 42分~46分 76分~84分
中等 21分 9分 37分~41分 68分~75分
合格 18分 6分 33分~36分 60分~67分
待合格 15分及以下 3分及以下 32分及以下 59分及以下
特别提醒：请不要向学生、家长提供各题得分和试卷总得分.
九年级数学试题参考答案 第 6页 共 6页

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