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四川师大昆明附中安宁校区高二年级2022-2023学年
上学期期中考试
数学试卷
（试卷满分150分，时间120分钟）
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题(每题5分，共40分)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|－3A．(－3，－1] B．(－1，3] C．(1，3] D．[3，6]
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一次函数为．设集合，，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，则使函数为增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，圆形纸片的四分之一扇形（阴影部分）是圆锥A的侧面展开图，其余部分是圆锥B的侧面展开图，则圆锥A与圆锥B的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，选错得0分，选对但不全得2分，全选对得5分，共20分）
9．如图所示，已知是棱长为1的正方体，则（ ）
A．平面 B．四点共面
C．正方体外接球的体积为 D．
10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.平面直角坐标系内，已知点，直线，若某条直线上存在点，使点到点的距离比到直线的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹是一条线段 B．点的轨迹与直线没有交点
C．是“最远距离直线” D．是“最远距离直线”
11．已知函数，，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象
C．函数的最小正周期为
D．函数在区间内单调递增
12．已知以M为圆心的圆与圆相交于A，B两点，且，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A．是定值 B．四边形的面积是定值
C．两圆心的距离= D．的最大值为2
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（每题5分，共20分，第16题少选或错选得0分，选全得5分）
13．已知向量，，且，则______．
14．直线与圆:相交于,两点,则______.
15．若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________．
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________．
①函数的最大值为1；
②函数的最小值为；
③函数的图象与直线有无数个交点；
④.
四、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．（10分）如图， 的边 边所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 ．
(1)求 边所在直线的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
18．（12分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；
(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.
19.（12分）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，如图，为线段上一点，且，求的长．
20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
21．（12分）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.
22．(12分)“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明 清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大 设施最好 档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：
4 10 20 30
149 155 165 155
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①，②，
③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.参考答案：
1．D
x2－5x－6≤0，解得：-1≤x≤6，所以A＝{x|-1≤x≤6}，
阴影部分表示的集合为B在U中的补集与A求交集，为 [3，6].
2．A
因为，
所以.
所以
3．C
当时，，，
为奇函数，充分性成立；
当为奇函数时，由得：，
，即，必要性成立；
“”是“为奇函数”的充分必要条件.
4．A
由已知可得则.
5．A
分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，其样本空间，共10个样本点，
记“使函数为增函数”为事件A，则，共6个样本点，
所以．
6．C
解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，
圆的圆心，半径为，
因为双曲线的一条渐近线与圆相切，
所以，，整理得，因为由，所以，所以.
7．B
设圆的半径为r，圆锥A与B的底面半径分别为，由题意知,解得,圆锥A的表面积，圆锥B的表面积，故．
C
，∴，
函数是减函数，函数在定义域内是增函数，函数在定义域内是增函数，
∴，，
∴，
9．BC
根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，
所以与所成角为，所以与所成角为，
所以A选项错误.
根据正方体的性质可知，所以B选项正确.
正方体外接球半径为，所以C对.
根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，
所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误.
10．BD
对：根据题意，点到点的距离比到直线的距离小1，
故点到点的距离和到直线的距离相等，
则点的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为：.故错误；
对：直线为抛物线的准线，显然没有交点，故正确；
对：联立直线与抛物线可得：，
其，则方程无根，两曲线无交点，
则直线不是“最远距离直线”，故错误；
对：联立直线与抛物线可得：
其，则方程有根，两曲线有交点，
则直线是“最远距离直线”，故正确.
11．BC
A：，故关于对称，错误；
B：，正确；
C：，其周期为，正确；
D：在上，故在内不单调，错误.
12．ABD
因为圆和圆相交于两点，所以
设交于点，，圆心距，故C错误；
为定值，故B正确；
因为，所以为定值，故A正确；
因为，所以，即（当且仅当时取等号），故D正确；
13．
由题，因，则，解得，则.得.
14．2
圆,其圆心坐标为,半径为.
圆心到直线的距离，则
15．6
因为，，，…，的方差为4，平均数为，
所以，
新数据的平均数为，所以新数据的方差
．
所以，，，…，的标准差为6.
16．②③④
由题意得：，
由解析式可得函数图形如下图所示，
对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确；
对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确；
对于④，函数满足，④正确；
17．（1）因为，
所以，又在上，所以，为，
又边所在直线的方程为，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
即．（本题若直接联立AB与y轴方程求点A坐标，需酌情扣分） （5分）
（2）与的交点为，
所以由解得点的坐标为，
因为，
所以，
所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心．（未说明需酌情扣分）
又．
从外接圆的方程为：． （10分）
18．（1）由题图可知组距为10.
第三组，第四组频率之和为，又后三组频率和为0.7，
则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.
得. （4分）
（2）由题图可知第三个矩形最高，故众数为.
平均数为. （8分）
（3）前三组频率之和为.
前四组频率之和为.
故频率0.81对应分数在75到85之间.
设分数为，则有，解得.
故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分. （12分）
19．
（1）解：因为
所以，根据正弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以. （5分）
（2）解：因为，
所以，在中，由余弦定理得，即，解得或(舍)
所以， （7分）
在中，，
因为，所以为钝角，为锐角，
所以，， （10分）
因为，
所以，在中，，解得. （12分）
（1）因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC． （6分）
（2）由题可知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为． （12分）
21．（1）由焦距为2，得，所以①.
由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，
解得，（舍去）.
所以，
所以椭圆的标准方程为. （5分）
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，
消去，得. （6分）
所以，解得. （7分）
设，，则，. （8分）
所以
， （9分）
原点到直线的距离.
所以. （10分）
由基本不等式知，.
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为. （12分）
22．(1)
(2)③，，最小值为3125元
（1）
由时，，得； （2分）
（2）
因为数据有增有减，①④不合符题意， （3分）
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
，解得：，
即得②类函数解析式为. （4分）
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
，解得：，
即得③类函数解析式为， （5分）
将第一组数据代入，
可知：，
将第一组数据代入，
可知：，
因此最合适. （7分）
当时
，
当且仅当时，等号成立 （9分）
当时
函数在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立 （11分）
综上可知，当或日销售收入最小值为3125元. （12分）

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