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V评价建议与测试题
一、本章学业要求
1.能够理解三角函数的背景、概念和性质.
2.能够运用三角恒等变换的基本公式进行三角恒等变换.
3.能够通过构建三角函数模型解决简单的实际问题.
4.能够在本章的学习中，重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.
二、本章评价建议
为落实本章的学业要求，以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求三个维度提出具体的评价建议.
1.核心知识评价要求
依据本章的学习目标和学业要求，按照了解、理解、掌握的三个认知层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求，可列出本章的12个核心知识.具体评价要求详见表1.
表1
主题 知识单元 核心知识 评价要求
了解 理解 掌握
函 数 三 角 函 数 角与 弧度 任意角的概念和弧度制 √ 2
弧度与角度的互化 √
三角函数的概念和性质 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 6
同角三角函数的基本关系式 √
诱导公式 √
周期函数的定义 √
三角函数，，的图象和性质 √
函数的图像和性质 √
三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 3
二倍角的正弦、余弦、正切公式 √
简单的三角恒等变换 √
三角函数的应用 三角函数的简单应用 √ 1
总计 2 8 2 12
对数学知识与技能的评价，本章应关注学生能否借助单位圆理解三角函数的定义、性质；能否利用单位圆的对称性推导出诱导公式；能否在函数观点下研究三角函数的图象与性质；能否结合具体的情境理解函数及其中参数的实际意义；能否从单位圆的旋转对称性理解两角差的余弦公式，并用联系的观点看待三角恒等变换的基本公式，及其与诱导公式之间的关系.
为此，我们将本章12个核心知识的评价要求，分别按照了解、理解和掌握三个层次的具体含义进行细化解析，以便有效地指导教学评价.
（1）了解任意角和弧度制的概念：能通过不同的分类方式初步认识任意角，能识别正角、负角、零角、象限角和终边相同的角；能类比角度制的定义，解释弧度制，体会引入弧度制的必要性.
（2）理解弧度与角度的互化：能进行弧度与角度之间的互化，能说明弧度制下的弧长、扇形面积等公式的简洁性，进一步认识引入弧度制的意义.
（3）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义：能借助于单位圆，在函数观点下理解三角函数的定义，说出三角函数的几何意义；能根据三角函数的定义确定三角函数的符号.
（4）理解同角三角函数的基本关系式：能借助单位圆，利用定义推导出同角三角函数的基本关系式，知道同角三角函数的基本关系也反映了三角函数的基本性质，并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值等运算.
（5）理解诱导公式：知道诱导公式是圆的对称性的代数化，它反映的是三角函数的对称性；能借助单位圆的对称性推导出诱导公式，并能运用诱导公式进行化简、求值和证明.
（6）了解周期函数的定义：能说出周期函数的含义，能借助图象解释三角函数的周期性，会求正弦、余弦、正切函数的最小正周期，初步认识三角函数是刻画周期变化现象的数学模型.
（7）理解三角函数，，的图象和性质：能根据定义画出正弦函数的图象，并能根据余弦函数与正弦函数的关系画出余弦函数的图象；能根据正切函数的性质画出正切函数的图象；知道三角函数的图象特征，并会用“五点法”画出它们在一个周期内的简图.知道三角函数的周期性、单调性及最值、奇偶性（对称性）等，能根据图象描述正弦函数、余弦函数在上，正切函数在
上的性质，并能利用这些性质解决简单的三角函数问题.
（8）理解函数的图象和性质：知道函数的实际意义，会用振幅变换、周期变换和相位变换描述函数的图象变化规律；会用“五点作图法”画其在一个周期内的图象，会利用图象变换由函数的图象得到函数的图象，并能描述参数，，的实际意义以及它们对函数图象变化的影响.
（9）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式：知道两角差的余弦公式是圆的旋转对称性的代数表示，并能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能说出它们之间的关系，会用相关公式求值、化简和证明.
（10）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式：能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，能说出它们之间的内在联系，会用相关公式求值、化简和证明.
（11）理解简单的三角恒等变换：能运用三角公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）；能根据给定的三角函数式中角、三角函数名的不同，选择合适的公式，进行合理的变形，研究三角函数的性质.
（12）理解三角函数的简单应用：能认识三角函数模型是描述周期变化规律的重要数学模型；能结合具体的现实问题、科学问题情境，并根据三角函数的图象和性质，建立三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.思想方法评价要求
本章的数学思想方法主要包括数形结合的思想、函数与方程的思想、分类与整合的思想和化归与转化的思想等，具体评价更求详见表2.
表2
思想方法 评价要求
数形结合 能利用单位圆，理解弧度制、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的余弦公式；能用“五点法”绘制三角函数、 的图象，并能根据图象求出函数的解析式；能以三角函数的图象为基础，综合应用函数有关知识研究三角函数的性质，体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具；能根据三角函数图象得到其性质，同时也能在性质研究的基础上画出函数图象；能结合图象理解函数中参数的几何意义，并确定参数的值；能由函数的图象，经过恰当的变化得到函数的图象.
函数与方程 能在函数定义的基础上理解三角函数定义；能在函数理论的指导下，对三角函数展开研究；能建立实际问题的函数模型，并利用函数的知识解决实际问题；能在解决实际问题的过程中，进一步感受三角函数刻画周期变化现象时的作用；在求解具体问题或推导公式时，注重应用列方程（组）的方法求解.
分类与整合 能根据角的终边的位置分类，选择适当的公式和化简程序，求出适合的角；能根据三角函数的符号特征，分类求解三角函数值问题.
化归与转化 能通过换元将复杂的三角函数型问题转化为基本的三角函数问题解决；能根据三角函数式中角与函数名的特征，选择恰当的公式将之变形转化；能灵活对待公式中角的关系，通过换元等方法将陌生问题转化为熟悉的三角函数图象和性质问题，并加以解决.
特殊与一般 能根据三角函数在一个周期内的图象与性质解决三角函数的整体性问题；能根据参数取特殊值时的变化情况，把握一般的变化情况；能借助于特殊问题的研究，解决一类三角函数图象变化规律问题.
（1）要特别关注学生能否运用数形结合、化归与转化的思想方法.如学生能否借助单位圆对三角函数进行研究，能否运用三角函数图象认识函数性质，能否通过换元将新问题转化为旧问题等.
（2）要关注学生能否借助信息技术理解本章的知识与方法.如能否借助信息技术的函数功能探求当参数变化时，函数图象的变化规律等.
3.关键能力评价要求
本章的关键能力主要包括抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、直观想象能力和数学建模能力等5个，具体评价要求详见表3.
表3
关键能力 评价要求
抽象概括 能在具体情境中抽象出三角函数的概念；能利用特殊到一般、具体到抽象的方法概括出三角函数的定义、图象和性质之间的逻辑关系；能概括出函数的图象特征，及其与正弦函数图象之间的关系；能够在熟悉的情境或新的情境中抽象出有关三角函数问题，并加以解决.
推理论证 能通过类比、归纳、演绎等推理过程，理解三角函数的定义、图象与性质之间的逻辑关系；能综合应用三角函数的图象、性质进行分析、推理和论证；能准确、规范使用函数有关术语和数学符号进行表达，并能解决有关问题.
运算求解 能够了解同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、二倍角公式等的运算特点，正确进行运算；能够根据式中角和函数名的特征，选择运算方法，设计运算程序，进行合理的三角恒等变换，解决问题；在解决三角函数图象性质的问题中，能体会程序化的思想的意义和作用.
直观想象 能借助三角函数的图象特征，研究它们的基本性质和变化规律；能用三角函数描述和表达数学问题，启迪解决些这问题的思路，体会数形结合.能根据问题情境，想象并构建相应的三角函数图形，借助图形提出问题，发现规律，并解决问题，体会数形结合的思想.
数学建模 能阅读、理解问题情境，合理确定正弦型函数中参数的取值，通过对已知材料的分析、整理，能清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，并能创造性地解决与物理、地理等学科有着紧密联系的具有周期性变化特征的实际问题.
（1）要特别关注学生能否形成由具体到抽象的思维品质.如学生能否根据三角函数的概念、图象和性质，领悟由特殊到一般、由具体到抽象的认知规律.对于三角函数的有关概念和性质，要让学生充分经历观察、操作、类比、推理、归纳、交流的全过程，不应单纯评价对概念与性质的记忆，而应注重对数学本质的理解和思想方法的把握，结合具体问题进行评价，避免片面强调机械模仿、死记硬背和复杂技巧.
（2）要特别关注学生能否提升数学建模素养.如能否理解三角函数这个重要的数学模型，并在具体问题中，认识函数中参数的实际意义；注重学生学习过程中的阅读与理解、表达与交流的能力是否有提高，是否掌握了读模、识模、建模、解模的全过程.特别要注意将数学建模渗透在全章的学习过程之中，可以通过典型例子规范学生的建模过程，通过测试检验学生掌握情况，为学生以后进一步提升数学建模素养打好基础.
三、本章命题建议
本章学业水平测试的命题，要以学业要求的达成为目标，以核心知识为基础、以问题情境为载体、以思想方法为依托、以关键能力为特征，综合体现数学核心素养的落实.
1.本章学业水平测试的命题意图
（1）以三角函数的知识为素材，突出评价函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性，函数的最大（小）值等基本性质.本章充分应用了单位圆对三角函数进行研究，因此在评价时要注意评价学生能否自觉地建立坐标系研究刻画实际问题，是否有对单位圆进行进一步探究发现的意识.要尽量地创设数学、物理或者其他实际应用的情境，评价学生是否能在实际情境中理解三角函数这个模型.
（2）本章中公式较多，在评价时要规避繁难的公式应用题目，要将之定位在服务于三角函数图象与性质的研究.以三角函数的图象为载体，突出研究函数性质的通性通法，注重结合具体问题情境融入数学思想方法，淡化特殊技巧.
（3）以三角函数的简单应用为特征，突出问题情境中要蕴含数学关键能力的评价，并将三角函数的核心知识、思想方法和实际应用有机地结合，重在评价学生综合运用本章知识建立三角函数模型、解决实际问题的能力.
2.本章学业水平测试题的双向多维细目表
依据上述要求，我们设计了本章学业水平测试题的双向多维细目表（详见表4），编制了一套示范性学业水平测试题，并给出了参考答案，以供教学时选用.
表4
题型 题号 问题情境 核心知识 评价要求 思想方法 关键能力
选 择 题 1 数学（A） 诱导公式 理解 化归与转化 运算求解
2 数学（A） 正弦函数的最值 理解 化归与转化 运算求解
3 数学（A） 函数的周期性 了解 化归与转化 运算求解
4 数学（B） 正弦函数的图象和性质 理解 数形结合 推理论证
5 数学（B） 三角函数的定义 理解 数形结合 直观想象
6 数学（B） 函数的图象和性质 理解 数形结合 推理论证
7 数学（B） 函数的图象和性质 理解 数形结合 直观想象
8 数学（B） 正弦函数的单调性 了解 化归与转化 运算求解
9 数学（B） 同角三角函数的基本关系式 理解 化归与转化 运算求解
10 数学（C） 三角函数的简单应用 理解 特殊与一般 抽象概括
填 空 题 11 数学（A） 弧度制 了解 化归与转化 运算求解
12 数学（A） 弧度与角度的互化 理解 化归与转化 运算求解
13 数学（B） 简单的三角恒等变换 理解 化归与转化 运算求解
14 数学（C） 简单三角恒等变换 理解 化归与转化 运算求解
15 数学（C） 函数的图象和性质 理解 数形结合 几何直观
解 答 题 16 数学（A） 正弦函数的图象 理解 数形结合 直观想象
17 数学（B） 三角函数的定义，三角恒等变换 理解 数形结合 运算求解
18 数学（B） 三角恒等变换 理解 化归与转化 运算求解
19 数学（C） 三角函数的简单应用 理解 数形结合 数学建模
20 数学（C） 二倍角的余弦公式，余弦函数与二次函数的性质 掌握 函数与方程 推理论证

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