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1.1.1　空间向量及其线性运算（1）
【学习目标】
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.
2．掌握空间向量的加减运算及运算律，理解向量减法的几何意义.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P2～4，思考并完成以下问题
1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？
2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？
二、课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的长度与向量的长度相等(　　)
(2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同(　　)
(3)零向量没有方向(　　)
(4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致(　　)
2．化简－＋所得的结果是(　　)
A． 　　　　　　　　 B．
C．0 D．
3．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
4．在平行六面体ABCD A′B′C′D′的顶点表示的向量中，模与向量的模相等的向量有________个．
三、新知探究
1．空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
(3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示.
②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或.
2．几类特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为的向量 0
单位向量 模为的向量 |a|＝1或||＝1
相反向量 与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 －a
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝
3.空间向量的加法和减法运算
空间向量的运算 加法 ＝＋ ＝a＋b
减法 ＝－ ＝a－b
加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
四、题型突破
题型一　空间向量的概念
例1　判断下列命题的真假．
(1)空间中任意两个单位向量必相等；
(2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(4)向量与的长度相等．
【反思感悟】　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
题型二　空间向量的加减运算
例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【反思感悟】　运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________(填序号)．
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.
题型三　空间向量加减运算的应用
例3　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：＋＋＝2.
【反思感悟】利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．
跟踪训练3　在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．
(1)＋＋；(2)＋－.
五、达标检测
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有(　　)
A．7个 B．3个 C．5个 D．6个
3．下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定是＋＝
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
六、本课小结
1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
参考答案
二、课前小测
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：7
四、题型突破
例1　解析：(1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．
(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．
(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．
(4)真命题．因为与仅是方向相反，但长度是相等的．
跟踪训练1　
解析：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝3.
例2　答案：A
解析：(1)－－＝－＝；
(2)＋－＝＋＝；
(3)－－＝－＝－＝≠；
(4)－＋＝＋＋＝＋≠，故选A.
跟踪训练2　 答案：①②③④
解析：①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是.
题型三　空间向量加减运算的应用
例3　证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝，
∴＋＋＝2.
跟踪训练3　解析：如图．
(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋－＝＋－＝－＝.
图中，为所求.
五、达标检测
1．答案：B
解析：a＝b |a|＝|b|；|a|＝|b|a＝b.
2．答案：A
解析：||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
3．答案：B
解析：若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确；空间向量的减法不满足结合律，故C不正确；在 ABCD中，才有＋＝，故D不正确．故选B.
4.答案：A
解析：＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c.

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