资源简介

1.1.1　空间向量及其线性运算（2）
【学习目标】
1．掌握空间向量的数乘运算；
2．理解共线向量定理及推论；
3．理解共面向量定理及推论.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P4～5，思考并完成以下问题
1．实数λ与空间向量a的乘积λa的方向如何确定？
2．空间向量的数乘运算满足哪些运算律？
3．共线向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定义分别是什么？
二、预习检测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上(　　)
(2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上(　　)
(3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面(　　)
2．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，则λ＝________.
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝－2＋＋λ确定的点M与A，B，C共面，则λ＝________.
三、新知探究
1．空间向量的数乘运算
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb
结合律 λ(μ a)＝(λμ)a
2．共线、共面向量
共线(平行)向量 共面向量
定义 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
推论 如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示． 若在l上取＝a，则①式可化为 ＝＋t 如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y ，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y
四、典例剖析
题型一　空间向量的数乘运算
例1　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
反思感悟
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解．如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘．
学以致用1
如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
题型二　向量共线问题
例2　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
反思感悟
判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
学以致用2
设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．
题型三　向量共面问题
例3　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
反思感悟
利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
学以致用3
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内．
五、达标检测
1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则(　　)
A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0
2．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
3.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
4．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则＝________.
六、本课小结
空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题．
参考答案
预习检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：3a－2b
3．答案：－
4．答案：2
典例剖析
例1 解析：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)
＝a＋b＋c.
学以致用1
解析：(1)∵P是CA′的中点，
∴＝(＋)＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)∵M是CD′的中点，
∴＝(＋)＝(＋2＋)
＝(a＋2b＋c)．
(3)∵N是C′D′的中点，
∴＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)∵CQ∶QA′＝4∶1，
∴＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c.
例2　解析：方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴∥，即与共线．
方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴∥，即与共线．
学以致用2
解析：∵＝＋＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)
＝5(＋)，
∴＝5，又∵B为两向量的公共点，
∴A、B、D三点共线．
例3　证明：因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
学以致用3
解析：(1)∵＝＋＋，
∴＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，
三个向量又有公共点M，
∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内．
达标检测
1．答案：B
解析：∵a，b是两个不共线的向量，
∴a≠0，b≠0，∴只有B正确．
2．答案：A
解析：∵03.答案：B
解析：＝＋＋
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
4．答案：(c－b)
解析：如图，＝＝×(＋)＝(c－b)．

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