资源简介

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
【学习目标】
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.
2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P26～31，思考并完成以下问题
1．平面的法向量的定义是什么？
2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，的充要条件是什么？
二、课前小测
1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(2，－1，2)，则下列点中在平面α内的是(　　)
A．(－4，4，0)　　　 B．(2，0，1)
C．(2，3，3) D．(3，－3，4)
2．两条不同直线l1，l2的方向向量分别是a＝(－2，1，1)，b＝(6，－3，－3)，则(　　)
A．l1∥l2 B．l1和l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
3．平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于(　　)
A．2 B．0
C．1 D．无意义
4．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．
5．已知平面α和平面β有公共的法向量n＝(1，－1，1)，则平面α，β的位置关系为________．
三、新知探究
知识点一　直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量
平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，则向量n叫做平面α的法向量
知识点二　空间平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m a∥b a＝λb a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β u∥v u＝λv a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
四、题型突破
题型一　利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系
[例1]　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1,－1,2)，v＝；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2,－3,4)，v＝(4,－2,1)；
(5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0,－8,12)，u＝(0,2,－3)．
反思感悟
(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
跟踪训练
1. 设平面α的法向量为(1,3,－2)，平面β的法向量为(－2,－6,k)， 若α∥β，则k＝________.
题型二　求平面的法向量
[例2] 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形， ∠ABC＝90°， SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
方法总结　
求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练
2. 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
题型三　利用空间向量证明平行关系
[例3]　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
反思感悟　
通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定＝λ＋μ中λ和μ是否存在的问题．
跟踪训练
3. 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
五、达标检测
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
2．已知线段AB的两端点坐标为A(9,－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面(　　)
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
3．若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2,2,6) B．(－1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
4．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α B．l α
C．l⊥α D．l α或l∥α
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)
①；②；③；④.
六、本课小结
1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．
参考答案
课前小测
1．答案：C
2．答案：A
解析：因为a＝(－2，1，1)，b＝(6，－3，－3)，
所以b＝－3a，所以a∥b，所以l1∥l2.
3．答案：C
4．答案：垂直
解析：因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，
所以n＝－2a，即a∥n，所以l⊥平面α.
5．解析：由题意知，平面α，β都与向量n＝(1，－1，1)垂直，所以α∥β.
题型突破
[例1]　 解：(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2.
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，
∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．
(3)∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.
(4)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，
∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．
(5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
∴u＝－a，∴u∥a，即l⊥α.
跟踪训练　
1. 答案：4
解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，
∴∴λ＝－，k＝4.
[例2]　解：如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝(，1,0)，＝(－，0,1)．
易知向量＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
跟踪训练
2. 解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
∵n⊥，n⊥，∴
解得令x＝1，则y＝z＝1.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
[例3] 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
方法一：　连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0,a)，E(0，，)．
因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，，0)，
所以＝(，0，－)．
又＝(a,0,－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法二：　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，，)，＝(a，，－)，
则有即
即
令y＝－1，则所以n＝(1,－1,1)，
又＝(a,0,－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0,－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.所以PA∥平面EDB.
方法三：　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0,－a)＝λ(0，，)＋μ(a，，－)，
则有
解得
所以＝－＋，
所以PA∥平面BDE.
跟踪训练
3. 解：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，
∴n＝(，，1)．
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E(，0,0)，则＝(－，0，m)．
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即(－)×＋0×＋m×1＝0，
即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
达标检测
1．答案：D
解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.
2．答案：C
解析：因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
3．答案：A
解析：∵A，B在直线l上，
∴＝(1,1,3)，与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量．
4．答案：D
解析：∵a·b＝0，∴l α或l∥α.
5．答案：②③
解析：∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴与可以作为平面ABC的法向量．

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