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空间向量
新课程标准 考向预测
1.空间直角坐标系 (1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． (2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 2.空间向量及其运算 (1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． (2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3.向量基本定理及坐标表示 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 4.空间向量的应用 (1)能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系． (3)能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理. 命题角度 1.空间向量的线性运算 2.共线、共面向量定理的应用 3.空间向量数量积的应用 4.利用空间向量证明平行或垂直
核心素养 数学运算
【基础梳理】
一、空间向量的有关定理
1．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得__________.
2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________.
3．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
基础小测
1．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若＝x ＋2y ＋3z ，则x＋y＋z＝(　　)
A． B． C． D．
2．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝(　　)
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
二、两个向量的数量积及其坐标运算
1．两个向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝______________.
2．向量的数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
a⊥ba1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
a∥ba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
cos〈a，b〉＝＝.
4．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
必记结论
1．空间共线的向量不具有传递性．如a∥b，b∥c，那么a∥c不一定成立．因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c共线．
2.若点O为空间中的任意一点，则
(1)点P是线段AB的中点的充要条件是＝ (＋)；
(2)若G为△ABC的重心，则＝ (＋＋)．
基础小测
1．空间中两点A(3，－2，5)，B(6，0，－1)之间的距离为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
2．已知向量a＝(x，－1，3)，b＝(2，－2，6)，若a∥b，则x＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【考点突破】
考点一　空间向量的线性运算(高考热度：★)
[例1] 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且3BP＝BC，记a＝，b＝，c＝，
(1)试用a，b，c表示；
(2)求的模．
方法总结
1．用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形先将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来．
2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
考点微练
1.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
考点二　共线、共面向量定理的应用(高考热度：★★)
[例2] 设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
考点微练
1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解题技法
共线、共面向量定理的类比
三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
考点三　利用空间向量证明平行或垂直问题(高考热度：★★)
[例3] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.
方法总结
1．用空间向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
(3)面面平行：证明两平面的法向量平行(即为共线向量)．
2．用空间向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
考点微练
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面AEF⊥平面PAB.
参考答案
【基础梳理】
一、空间向量的有关定理
基础小测
1．解析：由空间向量基本定理，得＝＋＋，
∴x＝1，2y＝1，3z＝1.∴y＝，z＝，
∴x＋y＋z＝.故选D.
2．解析：由题意，以，，为基底，则＝－＝＋－＝－＋＋(－)＝－a＋b＋c.故选B.
二、两个向量的数量积及其坐标运算
基础小测
1．解析：空间中两点A(3，－2，5)，B(6，0，－1)之间的距离
d＝＝7.故选B.
2．解析：∵a∥b，∴＝＝＝，解得x＝1.故选A.
【考点突破】
考点一　空间向量的线性运算(高考热度：★)
[例1] 解：(1)＝－＝(＋)－(＋)＝－(b＋c)＝a－b－c.
(2)因为AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，
所以a·b＝3，a·c＝1，b·c＝，
所以||＝
＝
＝＝.
考点微练
1.解析：选A　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
考点二　共线、共面向量定理的应用(高考热度：★★)
[例2] 解析：由题意知，m＋n＝1，则m＝1－n.
∴＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，
∴＝n，
∴A，B，P三点共线，即点P在直线AB上．
考点微练
1．解：(1)由已知，得＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
即＝＋＝－－.
∴，，三个向量共面．
(2)由(1)知，，，共面且过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，
从而点M在平面ABC内．
考点三　利用空间向量证明平行或垂直问题(高考热度：★★)
[例3] 解析：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)．
设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)．
∵＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
∴
∴取m＝(－1，1，1)．
同理，平面B1CD1的法向量为n＝(－1，1，1)，
∴m∥n.
∴平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)∵M，N分别为AB，B1C的中点，∴M(2，1，0)，N(1，2，1)．
∴＝(－1，1，1)．∴∥m，∴MN⊥平面A1BD.
考点微练
解析：（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
设AB＝a.∵AD＝PD＝2，∴A(2，0，0)，B(2，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，2)．
∵E，F分别为CD，PB的中点，∴E，F，
∴＝(1，0，1)．
∵＋＝(0，0，2)＋(2，0，0)＝(2，0，2)，
∴＝(＋)＝＋，
故，，共面．
又EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.
（2）由(1)知＝(1，0，1)，＝(0，a，0)，＝(－2，0，2)．
∴·＝0，·＝－2＋0＋2＝0，
∴⊥，⊥. 又AB∩AP＝A，∴EF⊥平面PAB.又EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB.

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